重复测量方差分析 - 自由度

Question

这个问题是从 Stack Overflow 迁移过来的，因为它可以在 Cross Validated 上得到回答。 5 天前迁移。

我正在研究重复测量方差分析，在网上找到了这个例子，但无法理解 df 是如何计算的。 在这个例子中计算两个 df 值的数学表达式是什么？

data(obk.long, package = "afex")

# estimate mixed ANOVA on the full design:
aov_car(value ~ treatment * gender + Error(id/(phase*hour)), 
        data = obk.long, observed = "gender")


# the three calls return the same ANOVA table:
# Anova Table (Type 3 tests)
# 
# Response: value
#                         Effect          df   MSE         F  ges p.value
# 1                    treatment       2, 10 22.81    3.94 + .198    .055
# 2                       gender       1, 10 22.81    3.66 + .115    .085
# 3             treatment:gender       2, 10 22.81      2.86 .179    .104
# 4                        phase 1.60, 15.99  5.02 16.13 *** .151   <.001
# 5              treatment:phase 3.20, 15.99  5.02    4.85 * .097    .013
# 6                 gender:phase 1.60, 15.99  5.02      0.28 .003    .709
# 7       treatment:gender:phase 3.20, 15.99  5.02      0.64 .014    .612
# 8                         hour 1.84, 18.41  3.39 16.69 *** .125   <.001
# 9               treatment:hour 3.68, 18.41  3.39      0.09 .002    .979
# 10                 gender:hour 1.84, 18.41  3.39      0.45 .004    .628
# 11       treatment:gender:hour 3.68, 18.41  3.39      0.62 .011    .641
# 12                  phase:hour 3.60, 35.96  2.67      1.18 .015    .335
# 13        treatment:phase:hour 7.19, 35.96  2.67      0.35 .009    .930
# 14           gender:phase:hour 3.60, 35.96  2.67      0.93 .012    .449
# 15 treatment:gender:phase:hour 7.19, 35.96  2.67      0.74 .019    .646
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘+’ 0.1 ‘ ’ 1 

Answer 1

这些自由度是应用 Greenhouse-Geisser 校正 (Greenhouse & Geisser, 1959) 的结果，据我所知，这是 aov_car 应用的默认校正。

在 Salkind (2010) 中，Hervé Abdi 指出：

除了误差正态性和方差同质性的通常假设外，重复测量设计的 F 检验还假设一种称为球形度的条件。 直观地说，这种情况表明受试者的排名不会在实验处理中发生变化。 这等效于声明两种治疗之间的总体相关性（根据受试者的分数计算）对于所有治疗对都是相同的。 这种情况意味着主体因素和治疗之间没有相互作用。 如果球形假设无效，则 F 检验变得过于宽松（即，当原假设为真时，拒绝原假设的比例大于 α 水平）。

根据此链接：

球形度存在与否的程度由称为 epsilon (ε) 的统计量表示。 epsilon 为 1（即 ε = 1）表示完全满足球形条件。 进一步的 epsilon 降低到 1 以下（即 ε < 1），球形度的破坏越大。 因此，您可以将 epsilon 视为描述违反球形度的程度的统计量。 epsilon (ε) 可以取的最小值称为下限估计。 Greenhouse-Geisser 和 Huynd-Feldt 程序都试图估计 epsilon (ε)，尽管方式不同（这是一个估计值，因为我们处理的是样本，而不是总体）。 因此，根据使用的程序，球形度 (ε) 的估计值往往总是不同的。 通过估计 epsilon (ε)，所有这些程序然后使用它们的球度估计 (ε) 来校正 F 分布的自由度。

ε的计算比较长，这里需要贴上一系列的公式和记号才能完全复现逻辑，仅供参考。

您可以通过 summary 命令查看 R 用于执行校正的 ε 值：

b<-aov_car(value ~ treatment * gender + Error(id/(phase*hour)), 
        data = obk.long, observed = "gender")
b
summary(b)

您在问题中看到的自由度是原始自由度乘以 ε 的结果。

如果你想看到那些原始的自由度，你可以指定你不想要任何修正：

c<-aov_car(value ~ treatment * gender + Error(id/(phase*hour)), 
           data = obk.long, observed = "gender", anova_table = list(correction = "none"))
c

正如 Vonesh 等人，只有与受试者内部变量相对应的自由度才会被 epsilon 校正。 (1997) 状态：

Box (1954a, 1954b) 建议通过将 乘以 e 的下限，即 1/(p-1) 来调整单位内 F 检验的分子和分母自由度。

有关更多详细信息，我强烈推荐 Howell (2013) 的优秀书籍。 重复测量设计一章非常友好，它描述了当您有 1) 两个被试间 + 1 个被试内因子设计或 2) 两个被试内 + 1 个被试间因子设计时该怎么做。 第 481 页显示了获得第一个设计的自由度的公式，第 484 页显示了第二个设计的公式。

最后， 此链接包含如何计算自由度的示例。

资料来源：

• 框，GEP (1954a)。 在方差问题分析研究中应用的关于二次型的一些定理，I. 方差不等式在单向分类中的影响。 数理统计年鉴，25（2），290-302。 https://doi.org/10.1214/aoms/1177728786
• 框，GEP (1954b)。 二次型定理在方差问题分析研究中的应用，二． 方差不等式和双向分类中误差之间的相关性的影响。 数理统计年鉴，25(3)，484-498。 https://doi.org/10.1214/aoms/1177728717
• 温室，西南和盖瑟，S.（1959 年）。 关于剖面数据分析的方法。 Psychometrika，24（2），95-112。 https://doi.org/10.1007/BF02289823
• 豪厄尔，哥伦比亚特区（2013 年）。 心理学统计方法（第 8 版）。 Wadsworth Cengage 学习。
• 新泽西州萨尔金德 (Ed.)。 (2010)。 研究设计百科全书。 SAGE 出版物。
• Vonesh, EF, Chinchilli, VM, & NetLibrary, I. (1997)。 用于分析重复测量的线性和非线性模型。 M. 德克尔。

Salkind (2010) 的具体章节可在此处获得