重復測量方差分析 - 自由度

Question

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我正在研究重復測量方差分析，在網上找到了這個例子，但無法理解 df 是如何計算的。 在這個例子中計算兩個 df 值的數學表達式是什么？

data(obk.long, package = "afex")

# estimate mixed ANOVA on the full design:
aov_car(value ~ treatment * gender + Error(id/(phase*hour)), 
        data = obk.long, observed = "gender")


# the three calls return the same ANOVA table:
# Anova Table (Type 3 tests)
# 
# Response: value
#                         Effect          df   MSE         F  ges p.value
# 1                    treatment       2, 10 22.81    3.94 + .198    .055
# 2                       gender       1, 10 22.81    3.66 + .115    .085
# 3             treatment:gender       2, 10 22.81      2.86 .179    .104
# 4                        phase 1.60, 15.99  5.02 16.13 *** .151   <.001
# 5              treatment:phase 3.20, 15.99  5.02    4.85 * .097    .013
# 6                 gender:phase 1.60, 15.99  5.02      0.28 .003    .709
# 7       treatment:gender:phase 3.20, 15.99  5.02      0.64 .014    .612
# 8                         hour 1.84, 18.41  3.39 16.69 *** .125   <.001
# 9               treatment:hour 3.68, 18.41  3.39      0.09 .002    .979
# 10                 gender:hour 1.84, 18.41  3.39      0.45 .004    .628
# 11       treatment:gender:hour 3.68, 18.41  3.39      0.62 .011    .641
# 12                  phase:hour 3.60, 35.96  2.67      1.18 .015    .335
# 13        treatment:phase:hour 7.19, 35.96  2.67      0.35 .009    .930
# 14           gender:phase:hour 3.60, 35.96  2.67      0.93 .012    .449
# 15 treatment:gender:phase:hour 7.19, 35.96  2.67      0.74 .019    .646
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘+’ 0.1 ‘ ’ 1 

Answer 1

這些自由度是應用 Greenhouse-Geisser 校正 (Greenhouse & Geisser, 1959) 的結果，據我所知，這是 aov_car 應用的默認校正。

在 Salkind (2010) 中，Hervé Abdi 指出：

除了誤差正態性和方差同質性的通常假設外，重復測量設計的 F 檢驗還假設一種稱為球形度的條件。 直觀地說，這種情況表明受試者的排名不會在實驗處理中發生變化。 這等效於聲明兩種治療之間的總體相關性（根據受試者的分數計算）對於所有治療對都是相同的。 這種情況意味着主體因素和治療之間沒有相互作用。 如果球形假設無效，則 F 檢驗變得過於寬松（即，當原假設為真時，拒絕原假設的比例大於 α 水平）。

根據此鏈接：

球形度存在與否的程度由稱為 epsilon (ε) 的統計量表示。 epsilon 為 1（即 ε = 1）表示完全滿足球形條件。 進一步的 epsilon 降低到 1 以下（即 ε < 1），球形度的破壞越大。 因此，您可以將 epsilon 視為描述違反球形度的程度的統計量。 epsilon (ε) 可以取的最小值稱為下限估計。 Greenhouse-Geisser 和 Huynd-Feldt 程序都試圖估計 epsilon (ε)，盡管方式不同（這是一個估計值，因為我們處理的是樣本，而不是總體）。 因此，根據使用的程序，球形度 (ε) 的估計值往往總是不同的。 通過估計 epsilon (ε)，所有這些程序然后使用它們的球度估計 (ε) 來校正 F 分布的自由度。

ε的計算比較長，這里需要貼上一系列的公式和記號才能完全復現邏輯，僅供參考。

您可以通過 summary 命令查看 R 用於執行校正的 ε 值：

b<-aov_car(value ~ treatment * gender + Error(id/(phase*hour)), 
        data = obk.long, observed = "gender")
b
summary(b)

您在問題中看到的自由度是原始自由度乘以 ε 的結果。

如果你想看到那些原始的自由度，你可以指定你不想要任何修正：

c<-aov_car(value ~ treatment * gender + Error(id/(phase*hour)), 
           data = obk.long, observed = "gender", anova_table = list(correction = "none"))
c

正如 Vonesh 等人，只有與受試者內部變量相對應的自由度才會被 epsilon 校正。 (1997) 狀態：

Box (1954a, 1954b) 建議通過將 乘以 e 的下限，即 1/(p-1) 來調整單位內 F 檢驗的分子和分母自由度。

有關更多詳細信息，我強烈推薦 Howell (2013) 的優秀書籍。 重復測量設計一章非常友好，它描述了當您有 1) 兩個被試間 + 1 個被試內因子設計或 2) 兩個被試內 + 1 個被試間因子設計時該怎么做。 第 481 頁顯示了獲得第一個設計的自由度的公式，第 484 頁顯示了第二個設計的公式。

最后， 此鏈接包含如何計算自由度的示例。

資料來源：

• 框，GEP (1954a)。 在方差問題分析研究中應用的關於二次型的一些定理，I. 方差不等式在單向分類中的影響。 數理統計年鑒，25（2），290-302。 https://doi.org/10.1214/aoms/1177728786
• 框，GEP (1954b)。 二次型定理在方差問題分析研究中的應用，二． 方差不等式和雙向分類中誤差之間的相關性的影響。 數理統計年鑒，25(3)，484-498。 https://doi.org/10.1214/aoms/1177728717
• 溫室，西南和蓋瑟，S.（1959 年）。 關於剖面數據分析的方法。 Psychometrika，24（2），95-112。 https://doi.org/10.1007/BF02289823
• 豪厄爾，哥倫比亞特區（2013 年）。 心理學統計方法（第 8 版）。 Wadsworth Cengage 學習。
• 新澤西州薩爾金德 (Ed.)。 (2010)。 研究設計百科全書。 SAGE 出版物。
• Vonesh, EF, Chinchilli, VM, & NetLibrary, I. (1997)。 用於分析重復測量的線性和非線性模型。 M. 德克爾。

Salkind (2010) 的具體章節可在此處獲得