如何找到选择3种类型的k个对象的方式数量

Question

给您一个整数k和3种类型的对象-A，B和C，每种类型都有大量的对象。 您可以用多少种方式排列k对象，以便您可以选择任意次数的任何类型的对象，但要限制B始终位于A和C之间，或者C和A之间。

例如，如果k为3，则答案为：10解释：{AAA，AAC，ABC，ACA，ACC，CAA，CAC，CBA，CCA，CCC}

我试图使用动态编程来解决它，但是我不知道这是否是正确的方法。

我尝试过这样的事情： f(n) = 2*f(n-1) + f(n-2) ，其中您采用了大小为k的数组，而f(1) = 2 {A, C}和f(2) = 4 {AA, AC, CA, CC} ，

因此，如果第（n-1）个字母是A或C，那么第n个字母可以是A或C，但是如果它是B，则第n个字母只能是互补的全名，即，如果第（n-2）个字母是A，则第n个字母为C，反之亦然。 但是我觉得我想念一些案件。

有没有更好的方法，有人可以帮助我吗？

Answer 1

将帖子

递归：

F(1) = 2
F(2) = 4
F(N) = 2 * F(N - 1) + F(N-2)

说明：任何有效的组合都以A或C结尾。
要进行n组合，我们可以将A和C都添加到任何（n-1）组合中-两个变体。
我们还有一个变体，增加了（n-2）种组合：xxxxC的BA和xxxxA的BC

Answer 2

令L为此类字符串的语言，而La和Lc为字符串分别以A或C结尾的语言的子集。

然后，我们可以编写明确的语法：

L = La | Lc
La = "A" | L + "A" | Lc + "BA"
Lc = "C" | L + "C" | La + "BC"

令L（n），La（n），Lc（n）为三种语言中每种语言的长度为n的字符串数。 通过对称，La（n）= Lc（n）= L（n）/ 2。

然后，从第二个方程式中，使用语法无歧义的事实，对于n> 1，La（n）= L（n-1）+ Lc（n-2），然后代入：L（n）= 2L（n-1）+ L（n-2）。 我们有L（0）= 0和L（1）= 2。

为了计算L，我们可以编写迭代代码（您可以将其称为动态编程）：

def L(n):
    a, b = 0, 2
    for _ in xrange(n):
        a, b = b, a + 2 * b
    return a

或者，就像我们对斐波那契数列所做的那样，我们可以使用矩阵求幂来解决它，这可以在O（log n）算术运算中完成。

L(n) = the first component of [0 1]^n (0)
                              [1 2]   (2)

Answer 3

这是一个广义的解决方案。 假设您有n个对象，并且必须从其中选择k对象。 您可以从每种类型中选择x1,x2,x3..对象。 和他们的总和

x1+x2+x3...+xn=k 0<=xi

因此，假设您可以选择是否选择每个对象（ 0<=xi ），答案将是(k+n-1)C(n-1)

这是积分方程的简单解决方案