如何找到从 k 个子集中选择一个的组合数

Question

考虑我们已经设置了 S：

S = {1,2,3,4,5,6}

和 S 的 3 个（比如 k 个）子集：

S_1 = {1,2,3}

S_2 = {2,3,4,5}

S_3 = {1,3,6}

从每个子集中选择一个元素的案例总数是多少？

不能从不同的子集中挑选相同的元素，并且不考虑顺序。

例如，

S_1 = {2}，S_2 = {3}，S_3 = {6}

和

S_1' = {3}，S_2' = {2}，S_3' = {6}

视为相同。 和

S_1' = {3}，S_2' = {3}，S_3' = {1}

无效，因为 S_1' 和 S_2' 选择了相同的元素。

我该如何制定这个？

Answer 1

这个问题类似于计算二分图中完美匹配的数量。

对 model 这样，构造一个二分图，其中 A = { 1, ..., k }，B 是原始集合 S，当y是集合的成员时，存在从x ∈ A 到y ∈ B 的边S_x 。

完美匹配对应于将 A 的每个元素与 B 的不同元素匹配的边的子集； 对于每个集合S_x，此匹配选择一个不同的元素y ∈ S_x 。 也就是说，多个不同的匹配可能匹配来自 B 的相同k个元素，这意味着由于在您的问题中未考虑顺序而导致的过度计数（即，出于您的目的，从 A 到那些k元素的哪条边 map 并不重要）。 尽管如此，这些问题非常相似，并且很可能每个问题都可以简化为另一个问题。

根据这个关于 math.SE 的答案，没有已知的计算完美匹配的有效算法，因此对于这个类似问题也可能没有已知的有效算法。 这表明您不太可能比某种回溯搜索做得更好。