如何找到從 k 個子集中選擇一個的組合數

Question

考慮我們已經設置了 S：

S = {1,2,3,4,5,6}

和 S 的 3 個（比如 k 個）子集：

S_1 = {1,2,3}

S_2 = {2,3,4,5}

S_3 = {1,3,6}

從每個子集中選擇一個元素的案例總數是多少？

不能從不同的子集中挑選相同的元素，並且不考慮順序。

例如，

S_1 = {2}，S_2 = {3}，S_3 = {6}

和

S_1' = {3}，S_2' = {2}，S_3' = {6}

視為相同。 和

S_1' = {3}，S_2' = {3}，S_3' = {1}

無效，因為 S_1' 和 S_2' 選擇了相同的元素。

我該如何制定這個？

Answer 1

這個問題類似於計算二分圖中完美匹配的數量。

對 model 這樣，構造一個二分圖，其中 A = { 1, ..., k }，B 是原始集合 S，當y是集合的成員時，存在從x ∈ A 到y ∈ B 的邊S_x 。

完美匹配對應於將 A 的每個元素與 B 的不同元素匹配的邊的子集； 對於每個集合S_x，此匹配選擇一個不同的元素y ∈ S_x 。 也就是說，多個不同的匹配可能匹配來自 B 的相同k個元素，這意味着由於在您的問題中未考慮順序而導致的過度計數（即，出於您的目的，從 A 到那些k元素的哪條邊 map 並不重要）。 盡管如此，這些問題非常相似，並且很可能每個問題都可以簡化為另一個問題。

根據這個關於 math.SE 的答案，沒有已知的計算完美匹配的有效算法，因此對於這個類似問題也可能沒有已知的有效算法。 這表明您不太可能比某種回溯搜索做得更好。