利用QR分解进行R的多元回归分析

Question

我正在尝试编写一个使用QR分解来解决多元回归的函数。 输入：y向量和X矩阵; 输出：b，e，R ^ 2。 到目前为止，我已经得到了这个并且非常困难; 我想我已经让事情变得太复杂了：

QR.regression <- function(y, X) {
X <- as.matrix(X)
y <- as.vector(y)
p <- as.integer(ncol(X))
if (is.na(p)) stop("ncol(X) is invalid")
n <- as.integer(nrow(X))
if (is.na(n)) stop("nrow(X) is invalid")
nr <- length(y)
nc <- NCOL(X)

# Householder 
for (j in seq_len(nc)) {
id <- seq.int(j, nr)
sigma <- sum(X[id, j]^2)
s <- sqrt(sigma)
diag_ej <- X[j, j]
gamma <- 1.0 / (sigma + abs(s * diag_ej))
kappa <- if (diag_ej < 0) s else -s
X[j,j] <- X[j, j] - kappa
if (j < nc)
for (k in seq.int(j+1, nc)) {
yPrime <- sum(X[id,j] * X[id,k]) * gamma
X[id,k] <- X[id,k] - X[id,j] * yPrime
}
yPrime <- sum(X[id,j] * y[id]) * gamma
y[id] <- y[id] - X[id,j] * yPrime
X[j,j] <- kappa
} # end of Householder transformation

rss <- sum(y[seq.int(nc+1, nr)]^2)  # residuals sum of squares
e <- rss/nr
e <- mean(residuals(QR.regression)^2)
beta <- solve(t(X) %*% X, t(X) %*% y)
for (i in seq_len(ncol(X))) # set zeros in the lower triangular side of X
X[seq.int(i+1, nr),i] <- 0
Rsq <- (X[1:nc,1:nc])^2
return(list(Rsq=Rsq, y = y, beta = beta, e = e))
}


UPDATE:
my.QR <- function(y, X) {
X <- as.matrix(X)
y <- as.vector(y)
p <- as.integer(ncol(X))
if (is.na(p)) stop("ncol(X) is invalid")
n <- as.integer(nrow(X))
if (is.na(n)) stop("nrow(X) is invalid")
qr.X <- qr(X)
b <- solve(t(X) %*% X, t(X) %*% y)
e <- as.vector(y - X %*% beta) #e
R2 <- (X[1:p, 1:p])^2
return(list(b = b, e= e, R2 = R2 ))
}

X <- matrix(c(1,2,3,4,5,6), nrow = 2, ncol = 3)
y <- c(1,2,3,4)
my.QR(X, y)

Answer 1

这一切都取决于你可以用多少R的内置设施来解决这个问题。 我已经知道lm是不被允许的，所以这是故事的其余部分。

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如果允许您使用除lm任何其他例程

然后你可以简单地使用lm.fit ， .lm.fit或lsfit进行基于QR的普通最小二乘求解。

lm.fit(X, y)
.lm.fit(X, y)
lsfit(X, y, intercept = FALSE)

其中， .lm.fit是最轻量级的，而lm.fit和lsfit非常相似。 以下是我们可以通过.lm.fit做的.lm.fit ：

f1 <- function (X, y) {
  z <- .lm.fit(X, y)
  RSS <- crossprod(z$residuals)[1]
  TSS <- crossprod(y - mean(y))[1]
  R2 <- 1 - RSS / TSS
  list(coefficients = z$coefficients, residuals = z$residuals, R2 = R2)
  }

在你的同学的问题中： 玩具R函数通过奇异值分解求解普通最小二乘法 ，我已经用它来检查SVD方法的正确性。

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如果您不允许使用R的内置QR分解例程qr.default

如果.lm.fit是不允许的，但qr.default是，那么它也没有那么复杂。

f2 <- function (X, y) {
  ## QR factorization `X = QR`
  QR <- qr.default(X)
  ## After rotation of `X` and `y`, solve upper triangular system `Rb = Q'y` 
  b <- backsolve(QR$qr, qr.qty(QR, y))
  ## residuals
  e <- as.numeric(y - X %*% b)
  ## R-squared
  RSS <- crossprod(e)[1]
  TSS <- crossprod(y - mean(y))[1]
  R2 <- 1 - RSS / TSS
  ## multiple return
  list(coefficients = b, residuals = e, R2 = R2)
  }

如果您还需要估计系数的方差 - 协方差，请按照如何使用R中的QR分解计算最小二乘估计的方差？ 。

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如果您甚至不允许使用qr.default

然后我们必须自己编写QR分解。 在R代码中编写Householder QR分解函数就是这样。

在那里使用myqr函数，我们可以写

f3 <- function (X, y) {
  ## our own QR factorization
  ## complete Q factor is not required
  QR <- myqr(X, complete = FALSE)
  Q <- QR$Q
  R <- QR$R
  ## rotation of `y`
  Qty <- as.numeric(crossprod(Q, y))
  ## solving upper triangular system
  b <- backsolve(R, Qty)
  ## residuals
  e <- as.numeric(y - X %*% b)
  ## R-squared
  RSS <- crossprod(e)[1]
  TSS <- crossprod(y - mean(y))[1]
  R2 <- 1 - RSS / TSS
  ## multiple return
  list(coefficients = b, residuals = e, R2 = R2)
  }

f3并不是非常有效，因为我们明确地形成了Q ，即使它是薄Q因子。 原则上，我们应该将y随着X的QR因子分解而旋转，因此不需要形成Q

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如果要修复现有代码

这需要一些调试工作，因此需要一些时间。 我稍后会就此作出另一个答案。