计算两个旋转椭圆的交点/并集？

Question

我在SE和其他地方看到了许多文章，用于计算两个矩形的交点和并集，但是我有两个任意的椭圆：旋转，平移，不同的半长轴和半短轴。

有没有人建议计算他们的交会值？

我正在使用OpenCV和Python，这是值得的。

如果我/我们不能提供任何聪明又快速的方法，那么我将使用基于掩码的方法，即我定义一个零数组，在第一个椭圆所定义的区域内用1填充，然后添加1为第二个椭圆，然后我知道联合是数组非零的任何地方，交集是数组2的任何地方。但这听起来有点慢。

编辑：重新。 “听起来有点慢”：就像这样，我想每秒评估一下这“十亿”次，所以我更喜欢一个解析方程来计算（例如，像非旋转矩形一样），而不是仅仅基于像素的蒙版实现。

Answer 1

如果您不想制作其他蒙版，则必须在椭圆形中实现布尔函数（使用常规椭圆方程式）：

https://math.stackexchange.com/a/434482/

然后，只有在满足方程式的情况下，才可以为像素着色。 下面我附上了c ++示例（我应该很容易将其转换为python）：

bool ifInEllipse(cv::Size _axes, float _angle, cv::Point _center, cv::Point _point)
{

_angle =CV_PI/180*_angle;


float cosine = cos(_angle);
float sine = sin(_angle);


float res1 = (_point.x - _center.x)*cosine + (_point.y - _center.y)*sine;
res1 = res1*res1;
float res2 = (_point.x - _center.x)*sine - (_point.y - _center.y)*cosine;
res2 = res2*res2;

float a = _axes.width;
float b = _axes.height;
return ((res1 / (a*a)) + (res2 / (b*b))) < 1;
}

和示例用法：

cv::Mat A1,A2, B1,B2, AA,BB;
A1 = cv::Mat::zeros(500, 500, CV_8UC1);
A2 = cv::Mat::zeros(500, 500, CV_8UC1);

cv::Point center1(200, 200);
cv::Size axes1(100, 50);
float angle1 =30;

cv::ellipse(A1, center1, axes1, angle1, 0, 360,cv::Scalar(255,255,255),-1);


B1 = cv::Mat::zeros(500, 500, CV_8UC1);
B2 = cv::Mat::zeros(500, 500, CV_8UC1);
for(int i=0;i<500;i++)
{
    for(int j=0;j<500;j++)
    {
        if(ifInEllipse(axes1,angle1,center1,cv::Point(i,j)))
        {
            B1.at<uchar>(j, i) = 255;
        }
    }
}

cv::Point center2(350, 300);
cv::Size axes2(60, 120);
float angle2 = -45; 


cv::ellipse(A2, center2, axes2, angle2, 0, 360, cv::Scalar(255, 255, 255), -1);


B2 = cv::Mat::zeros(500, 500, CV_8UC1);
for (int i = 0; i<500; i++)
{
    for (int j = 0; j<500; j++)
    {
        if (ifInEllipse(axes2, angle2, center2, cv::Point(i, j)))
        {
            B2.at<uchar>(j, i) = 255;
        }
    }
}


AA = cv::Mat::zeros(500, 500, CV_8UC1);
BB = cv::Mat::zeros(500, 500, CV_8UC1);

cv::bitwise_and(A1, A2,AA);



for (int i = 0; i<500; i++)
{
    for (int j = 0; j<500; j++)
    {
        if (ifInEllipse(axes1, angle1, center1, cv::Point(i, j)))
        {
            if (ifInEllipse(axes2, angle2, center2, cv::Point(i, j)))
            {
                BB.at<uchar>(j, i) = 255;
            }
        }
    }
}

结果：