用python数值二阶微分

Question

我想使用Python而不使用内置函数来计算二阶微分方程，但是结果仅对一阶方程是正确的。

让我给你一个例子（插图没有声誉！-为了更好的方程式外观）

dy/dt = -ky

并使用导数的基本定义

f'(x)= h ->0 (f(x+h)-f(x))/h

我们可以写出k = 0.3的基本python代码

def first_order(dt):
    t = np.arange(0, 20, dt)
    k = 0.3
    y = np.zeros(len(t))

    y[0] = 5
    for i in range(1, len(t)):
        y[i] = - k* y[i - 1] * dt + y[i-1]

    return t, y

这样做很好，但是当我尝试计算相应的方程式时：

dp^2/dx^2 = (p- p0)/L

使用： f''(x)= h ->0 (f(x+h)-2f(x)+ f(xh)/h^2

二阶导数方程的初始条件是p(0) = 10^14 ， p0 = 10^13 ， L = 10 ^-6和p(infinity) = p0 ，第二个条件可能使它出错。

我试图以简单的方式解决此问题-与以前类似

def diffusion_lenght(dt):
   p0 = 10 ** 13  # initial state
   t = np.arange(0, 20, dt)
   p = np.zeros(len(t))
   L = 1 * 10 ** -6
   p[0] = 10 ** 14
   p[len(t)-1] = p0

   for i in range(1, len(t)):
      p[i] = (2* p[i-1]- p[i-2]- p0 * dt ** 2 / L) / (1 - dt ** 2 / L)
   print(p)
   return t, p

但是结果不正确。 它应该使我与x呈指数递减，但我得到的直线收敛到dt值。

Answer 1

如果您不介意的话，我几年前就这样做了，我为它准备了一些小脚本，因此我将为您提供代码，而不是在您的代码中发现错误。

我认为它非常清楚明确。

import numpy as np

class dif_eq(object):
    def __init__(self):
        pass
    def ft4(self,dt,u,x1_before,x2_before,x3_before,x4_before,functionn):
        x1_now = x1_before + dt * x2_before
        x2_now = x2_before + dt * x3_before
        x3_now = x3_before + dt * x4_before
        x4_now = x4_before + dt * functionn(u,x1_before,x2_before,x3_before,x4_before)
        vals = [x1_now,x2_now,x3_now,x4_now]
        return vals

    def ft3(self,dt,u,x1_before,x2_before,x3_before,functionn):
        x1_now = x1_before + dt * x2_before
        x2_now = x2_before + dt * x3_before
        x3_now = x3_before + dt*functionn(u,x1_before,x2_before,x3_before)
        vals = [x1_now,x2_now,x3_now]
        return vals

    def ft2(self,dt,u,x1_before,x2_before,functionn):
        x1_now = x1_before + dt * x2_before
        x2_now = x2_before+  dt * functionn(u,x1_before,x2_before)
        vals = [x1_now,x2_now]
        return vals

    def ft1(self,dt,u,x1_before,functionn):
        x1_now = x1_before + dt*functionn(u,x1_before)
        vals = [x1_now]
        return vals

使用示例：

"""
def order3equation(u,b,c,a): # Your differential equations
    y=u-b*2-c*2.5-a*3.6 #+ noise*np.random.rand()/5
    return y
def order1equation.....
    ....
    return y

d=dif_eq()
val=[0] # init for 1order
val3=[0,0,0] # init for 3order
dt=0.05
result1order=[]
result3order=[]
for i in range(100):
    val=d.ft1(dt,u,val[0],order1equation)
    result1order.append(val[0])

for i in range(1000):
    val3=d.ft3(dt,u,val3[0],val3[1],val3[2],order3equation)
    result3order.append(val3[0])
"""

valx / vals是导数的实际值。 第一次传递初始值，但随后将函数实际返回的值传递给函数。

工作示例-不稳定的系统

    u = 1 # input/impulse or whatever name it is
    d=dif_eq()

    val3=[0,0,0]
    dt=0.05

    zz=[]
    def my3(u, b, c, a):
        y = u - b * 1 - c * 1 - a *1
        return y
    for i in range(1000):
        val3=d.ft3(dt,u,val3[0],val3[1],val3[2],my3)
        zz.append(val3[0])
    from matplotlib.pyplot import *
    plot(zz)
    show()