用python數值二階微分

Question

我想使用Python而不使用內置函數來計算二階微分方程，但是結果僅對一階方程是正確的。

讓我給你一個例子（插圖沒有聲譽！-為了更好的方程式外觀）

dy/dt = -ky

並使用導數的基本定義

f'(x)= h ->0 (f(x+h)-f(x))/h

我們可以寫出k = 0.3的基本python代碼

def first_order(dt):
    t = np.arange(0, 20, dt)
    k = 0.3
    y = np.zeros(len(t))

    y[0] = 5
    for i in range(1, len(t)):
        y[i] = - k* y[i - 1] * dt + y[i-1]

    return t, y

這樣做很好，但是當我嘗試計算相應的方程式時：

dp^2/dx^2 = (p- p0)/L

使用： f''(x)= h ->0 (f(x+h)-2f(x)+ f(xh)/h^2

二階導數方程的初始條件是p(0) = 10^14 ， p0 = 10^13 ， L = 10 ^-6和p(infinity) = p0 ，第二個條件可能使它出錯。

我試圖以簡單的方式解決此問題-與以前類似

def diffusion_lenght(dt):
   p0 = 10 ** 13  # initial state
   t = np.arange(0, 20, dt)
   p = np.zeros(len(t))
   L = 1 * 10 ** -6
   p[0] = 10 ** 14
   p[len(t)-1] = p0

   for i in range(1, len(t)):
      p[i] = (2* p[i-1]- p[i-2]- p0 * dt ** 2 / L) / (1 - dt ** 2 / L)
   print(p)
   return t, p

但是結果不正確。 它應該使我與x呈指數遞減，但我得到的直線收斂到dt值。

Answer 1

如果您不介意的話，我幾年前就這樣做了，我為它准備了一些小腳本，因此我將為您提供代碼，而不是在您的代碼中發現錯誤。

我認為它非常清楚明確。

import numpy as np

class dif_eq(object):
    def __init__(self):
        pass
    def ft4(self,dt,u,x1_before,x2_before,x3_before,x4_before,functionn):
        x1_now = x1_before + dt * x2_before
        x2_now = x2_before + dt * x3_before
        x3_now = x3_before + dt * x4_before
        x4_now = x4_before + dt * functionn(u,x1_before,x2_before,x3_before,x4_before)
        vals = [x1_now,x2_now,x3_now,x4_now]
        return vals

    def ft3(self,dt,u,x1_before,x2_before,x3_before,functionn):
        x1_now = x1_before + dt * x2_before
        x2_now = x2_before + dt * x3_before
        x3_now = x3_before + dt*functionn(u,x1_before,x2_before,x3_before)
        vals = [x1_now,x2_now,x3_now]
        return vals

    def ft2(self,dt,u,x1_before,x2_before,functionn):
        x1_now = x1_before + dt * x2_before
        x2_now = x2_before+  dt * functionn(u,x1_before,x2_before)
        vals = [x1_now,x2_now]
        return vals

    def ft1(self,dt,u,x1_before,functionn):
        x1_now = x1_before + dt*functionn(u,x1_before)
        vals = [x1_now]
        return vals

使用示例：

"""
def order3equation(u,b,c,a): # Your differential equations
    y=u-b*2-c*2.5-a*3.6 #+ noise*np.random.rand()/5
    return y
def order1equation.....
    ....
    return y

d=dif_eq()
val=[0] # init for 1order
val3=[0,0,0] # init for 3order
dt=0.05
result1order=[]
result3order=[]
for i in range(100):
    val=d.ft1(dt,u,val[0],order1equation)
    result1order.append(val[0])

for i in range(1000):
    val3=d.ft3(dt,u,val3[0],val3[1],val3[2],order3equation)
    result3order.append(val3[0])
"""

valx / vals是導數的實際值。 第一次傳遞初始值，但隨后將函數實際返回的值傳遞給函數。

工作示例-不穩定的系統

    u = 1 # input/impulse or whatever name it is
    d=dif_eq()

    val3=[0,0,0]
    dt=0.05

    zz=[]
    def my3(u, b, c, a):
        y = u - b * 1 - c * 1 - a *1
        return y
    for i in range(1000):
        val3=d.ft3(dt,u,val3[0],val3[1],val3[2],my3)
        zz.append(val3[0])
    from matplotlib.pyplot import *
    plot(zz)
    show()