快速计算a ^（b！）mod（c）的方法

Question

到目前为止，这是我尝试过的。 我不知道这段代码有什么问题，但是在大多数情况下，它给出了错误的答案：x，y，n> 10 ^ 5。

#include <stdio.h>
long long factorial(long long N)
{
  long long product = 1;
  for ( long long j=1;j<=N;j++)
    product *= j;
  return product;
}
long long power(long long x, unsigned long long y, long long p) 
{ 
    long long res = 1;      // Initialize result 

    x = x % p;  // Update x if it is more than or  
                // equal to p 

    while (y > 0) 
    { 
        // If y is odd, multiply x with result 
        if (y & 1) 
            res = (res*x) % p; 

        // y must be even now 
        y = y>>1; // y = y/2 
        x = (x*x) % p;   
    } 
    return res; 
} 
int main()  
{  
   long long A,B,C,test;
   scanf("%lld",&test);
   for (long long i = 0;i<test;i++)
   {
       scanf("%lld %lld %lld",&A,&B,&C);
        long long fa = factorial(B);
        long long res = power(A,fa,C);
        printf("%lld \n",res);
   }
   return 0;  
}

任何帮助或演练将不胜感激。

Answer 1

除了充分利用诸如Nico Schertler之类的数论知识外，在他的评论中还建议您也可以使用幼稚的方法在小整数上进行此操作。

您的问题是您的子结果不适合您的变量：

a^(b!) mod c < c
b! > c

阶乘结果的确非常大，如果不使用bigints，它将不适合您的int小变量。 但是您可以对此稍作更改：

  10^(3!) mod c
= 10^(1*2*3) mod c
= (((10^1 mod c)^2 mod c)^3 mod c)

这样的想法是不是乘以计算阶乘i的循环使用迭代器modpow在a^...子的结果。 这样，所有子结果仍然适合您的变量。

这里是一个小的C ++代码：

//---------------------------------------------------------------------------
typedef unsigned __int32 DWORD;
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD mod(DWORD a,DWORD p)
    {
    DWORD bb;
    for (bb=p;(DWORD(a)>DWORD(bb))&&(!DWORD(bb&0x80000000));bb<<=1);
    for (;;)
        {
        if (DWORD(a)>=DWORD(bb)) a-=bb;
        if (bb==p) break;
        bb>>=1;
        }
    return a;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD modadd(DWORD a,DWORD b,DWORD p)
    {
    DWORD d,cy;
    a=mod(a,p);
    b=mod(b,p);
    d=a+b;
    cy=((a>>1)+(b>>1)+(((a&1)+(b&1))>>1))&0x80000000;
    if (cy) d-=p;
    if (DWORD(d)>=DWORD(p)) d-=p;
    return d;
    }

//---------------------------------------------------------------------------
DWORD modsub(DWORD a,DWORD b,DWORD p)
    {
    DWORD d;
    a=mod(a,p);
    b=mod(b,p);
    d=a-b; if (DWORD(a)<DWORD(b)) d+=p;
    if (DWORD(d)>=DWORD(p)) d-=p;
    return d;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD modmul(DWORD a,DWORD b,DWORD p)
    {
    int i;
    DWORD d;
    a=mod(a,p);
    for (d=0,i=0;i<32;i++)
        {
        if (DWORD(a&1))    d=modadd(d,b,p);
        a>>=1;
        b=modadd(b,b,p);
        }
    return d;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD modpow(DWORD a,DWORD b,DWORD p)
    {
    int i;
    DWORD d=1;
    mod(a,p);
    for (i=0;i<32;i++)
        {
        d=modmul(d,d,p);
        if (DWORD(b&0x80000000)) d=modmul(d,a,p);
        b<<=1;
        }
    return d;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
DWORD modpowfact(DWORD a,DWORD b,DWORD c) // returns a^(b!) mod c
    {
    DWORD i,y=mod(a,c);
    for (i=2;i<=b;i++)
     y=modpow(y,i,c);
    return y;
    }
//---------------------------------------------------------------------------

上面的代码在我的设置中返回了这些代码：

10^(0!) mod 1031 = 10
10^(1!) mod 1031 = 10
10^(2!) mod 1031 = 100
10^(3!) mod 1031 = 961
10^(4!) mod 1031 = 72
10^(5!) mod 1031 = 754

模块化算法是从这里获取的：

• 模块化算法和NTT（有限域DFT）优化

我使用了缓慢的非优化版本，因此可以在任何平台上编译和运行...

Answer 2

检查这个答案！

https://stackoverflow.com/a/26282858/7480909

我用这个功能解决这个问题

UVA 374-大模组

http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=310

 // a^b % T // with Exponentiation by squaring (http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring#Basic_method) // if a very large use // R=(unsigned long long)(R*a)%T; int restOfPot(long long a,int b,int T) { a%=T; long long R=1; while(b) { if(b&1) R=(R*a)%T; a=(a*a)%T; b>>=1; } return int(R); }