如何在重力，浮力和空气阻力的作用下绘制弹丸的运动？

Question

我正在尝试绘制在重力，浮力和阻力作用下的质点的抛物线运动。 基本上，我想显示浮力和阻力对飞行距离，飞行时间和速度变化的影响。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

V_initial = 30 # m/s
theta = np.pi/6 # 30
g = 3.711
m =1
C = 0.47
r = 0.5
S = np.pi*pow(r, 2)
ro_mars = 0.0175
t_flight = 2*(V_initial*np.sin(theta)/g)
t = np.linspace(0, t_flight, 200)

# Drag force
Ft = 0.5*C*S*ro_mars*pow(V_initial, 2)

# Buoyant Force
Fb = ro_mars*g*(4/3*np.pi*pow(r, 3))

x_loc = []
y_loc = []

for time in t:
    x = V_initial*time*np.cos(theta)
        y = V_initial*time*np.sin(theta) - (1/2)*g*pow(time, 2)
    x_loc.append(x)
    y_loc.append(y)

x_vel = []
y_vel = []
for time in t:
    vx = V_initial*np.cos(theta)
    vy = V_initial*np.sin(theta) - g*time
    x_vel.append(vx)
    y_vel.append(vy)


v_ch = [pow(i**2+ii**2, 0.5) for i in x_vel for ii in y_vel]

tau = []
for velocity in v_ch:
    Ft = 0.5*C*S*ro_mars*pow(velocity, 2)
        tau.append(Ft)

buoy = []
for velocity in v_ch:
    Fb = ro_mars*g*(4/3*np.pi*pow(r, 3))
    buoy.append(Fb)

在此之后，我不知道如何在此力下绘制弹丸运动。 换句话说，我正在尝试比较三种情况下质量的弹丸运动

1. 仅在重力作用下的质量
2. 在重力和空气阻力作用下的质量
3. 在重力，空气阻力和浮力作用下的质量

Answer 1

您必须根据给定时间的力总和来计算每个位置。 为此，最好从随时计算净力开始，然后使用它来计算加速度，速度和位置。 对于以下计算，假定浮力和重力是恒定的（实际上并不正确，但在这种情况下其可变性的影响可忽略不计），尽管如此，还假定初始位置为(0,0)可以轻松地更改为任何初始位置。

F_x = tau_x 
F_y = tau_y + bouyancy + gravity

其中tau_x和tau_y分别是x和y方向上的阻力。 速度v_x和v_y然后由下式给出

v_x = v_x + (F_x / (2 * m)) * dt
v_y = v_y + (F_y / (2 * m)) * dt

因此，在任意时刻t的x和y位置r_x和r_y由以下各项的总和得出

r_x = r_x + v_x * dt
r_y = r_y + v_y * dt

在这两种情况下，对于某些dt ，都必须从0到t进行评估，如果n是求和的步数，则dt * n = t 。

r_x = r_x + V_i * np.cos(theta) * dt + (F_x / (2 * m)) * dt**2
r_y = r_y + V_i * np.sin(theta) * dt + (F_y / (2 * m)) * dt**2

整个计算实际上可以分两行完成，

r_x = r_x + V_i * np.cos(theta) * dt + (tau_x / (2 * m)) * dt**2
r_y = r_y + V_i * np.sin(theta) * dt + ((tau_y + bouyancy + gravity) / (2 * m)) * dt**2

除了v_x和v_y需要在每个时间步进行更新。 要循环遍历并计算一定时间范围内的x和y位置，您可以简单地遵循以下示例（已编辑）。

以下代码包含一些纠正措施，可防止出现y负位置，因为g的给定值适用于表面或火星，我认为这是适当的-当您击中y并尝试继续操作时，您可能会因计划外的快速拆卸而最终失败，例如我们物理学家称之为。

编辑

为响应已编辑的问题，已对以下示例进行了修改，以绘制请求的所有三种情况-重力，重力加阻力以及重力加阻力和浮力。 情节设置代码也已添加

完整示例（编辑）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def projectile(V_initial, theta, bouyancy=True, drag=True):
    g = 9.81
    m = 1
    C = 0.47
    r = 0.5
    S = np.pi*pow(r, 2)
    ro_mars = 0.0175

    time = np.linspace(0, 100, 10000)
    tof = 0.0
    dt = time[1] - time[0]
    bouy = ro_mars*g*(4/3*np.pi*pow(r, 3))
    gravity = -g * m
    V_ix = V_initial * np.cos(theta)
    V_iy = V_initial * np.sin(theta)
    v_x = V_ix
    v_y = V_iy
    r_x = 0.0
    r_y = 0.0
    r_xs = list()
    r_ys = list()
    r_xs.append(r_x)
    r_ys.append(r_y)
    # This gets a bit 'hand-wavy' but as dt -> 0 it approaches the analytical solution.
    # Just make sure you use sufficiently small dt (dt is change in time between steps)
    for t in time:
        F_x = 0.0
        F_y = 0.0
        if (bouyancy == True):
            F_y = F_y + bouy
        if (drag == True):
            F_y = F_y - 0.5*C*S*ro_mars*pow(v_y, 2)
            F_x = F_x - 0.5*C*S*ro_mars*pow(v_x, 2) * np.sign(v_y)
        F_y = F_y + gravity

        r_x = r_x + v_x * dt + (F_x / (2 * m)) * dt**2
        r_y = r_y + v_y * dt + (F_y / (2 * m)) * dt**2
        v_x = v_x + (F_x / m) * dt
        v_y = v_y + (F_y / m) * dt
        if (r_y >= 0.0):
            r_xs.append(r_x)
            r_ys.append(r_y)
        else:
            tof = t
            r_xs.append(r_x)
            r_ys.append(r_y)
            break

    return r_xs, r_ys, tof

v = 30
theta = np.pi/4

fig = plt.figure(figsize=(8,4), dpi=300)
r_xs, r_ys, tof = projectile(v, theta, True, True)
plt.plot(r_xs, r_ys, 'g:', label="Gravity, Buoyancy, and Drag")
r_xs, r_ys, tof = projectile(v, theta, False, True)
plt.plot(r_xs, r_ys, 'b:', label="Gravity and Drag")
r_xs, r_ys, tof = projectile(v, theta, False, False)
plt.plot(r_xs, r_ys, 'k:', label="Gravity")
plt.title("Trajectory", fontsize=14)
plt.xlabel("Displacement in x-direction (m)")
plt.ylabel("Displacement in y-direction (m)")
plt.ylim(bottom=0.0)
plt.legend()
plt.show()

请注意，这将保留并返回变量tof中的tof 。

Answer 2

使用向量符号和odeint 。

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import scipy.constants as SPC
import matplotlib.pyplot as plt

V_initial = 30 # m/s
theta = np.pi/6 # 30
g = 3.711
m = 1 # I assume this is your mass
C = 0.47
r = 0.5
ro_mars = 0.0175

t_flight = 2*(V_initial*np.sin(theta)/g)
t = np.linspace(0, t_flight, 200)

pos0 = [0, 0]
v0 = [np.cos(theta) * V_initial, np.sin(theta)  * V_initial]

def f(vector, t, C, r, ro_mars, apply_bouyancy=True, apply_resistance=True):
    x, y, x_prime, y_prime = vector

    # volume and surface
    V = np.pi * 4/3 * r**3
    S = np.pi*pow(r, 2)

    # net weight bouyancy
    if apply_bouyancy:
        Fb = (ro_mars * V - m) * g *np.array([0,1])
    else:
        Fb = -m  * g * np.array([0,1])

    # velocity vector
    v = np.array([x_prime, y_prime])

    # drag force - corrected to be updated based on current velocity
#    Ft = -0.5*C*S*ro_mars*pow(V_initial, 2)
    if apply_resistance:
        Ft = -0.5*C*S*ro_mars* v *np.linalg.norm(v)
    else:
        Ft = np.array([0, 0])

    # resulting acceleration
    x_prime2, y_prime2 = (Fb + Ft) / m

    return x_prime, y_prime, x_prime2, y_prime2

sol = odeint(f, pos0 + v0 , t, args=(C, r, ro_mars))
plt.plot(sol[:,0], sol[:, 1], 'g', label='tray')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid()
plt.show()

请注意，我已校正了阻力以使用实际（而非初始）速度，不知道这是您的错误还是故意的。

另外，请查阅odeint的文档，以更好地了解如何将二阶ODE（如您的问题中的那个）转换为一阶向量ODE。

要消除空气阻力或apply_bouyancy ，可以通过将它们添加到args=(...)来将apply_bouyancy和apply_resistance设置为True或False args=(...)