如何求解具有空气阻力的弹丸运动的二阶微分方程？

Question

方程是：

d^2 r/dt^2 = -c/m (dr/dt)+g

其中r是弹丸的position，c是阻力系数，m是弹丸的质量，g是重力加速度。

假设组件形式只有二维，当然，读取，

d^2 X/dt^2 = -c(dX/dt)= U
d^2 Y/dt^2 = -c/m(dY/dt)+g

如果我们采用上述方法并将 X 和 Y 中的速度明确定义为，

U = dX/dt

和

V = dX/dt

那么整个耦合方程组是，

dU/dt= -c/m(U)
dV/dt= - c/m(V)+g
dX/dt= U
dY/dt = V

该 ODE 系统的参数为 c = 0.5 kgs^-1，m = 2kg 和 g = -9.81 ms^-2。

将变量初始化为(U0, V0, X0, Y0) = (173, 100, 0, 0) ，它从原点以与水平方向成 ∼ 30 度角发射弹丸。

如何使用 rk4（我想知道如何编写代码）在 python 中编写一个新的 function （我想知道如何编写代码），它实现了解决二维弹丸运动问题的上述四个 ODE 系统......？ 请帮助我对 ODE 和编码非常陌生。 谢谢

---

到目前为止，我已经得到了以下内容......它不起作用，我真的不知道如何解决这个特定问题，我也打算获得一个弹丸图......有人可以改进我的代码吗？谢谢

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def projectileMotion_V(t, M, g, c):
   return -c/M * V0 + g 


def projectileMotion_U(t, c, M):
   return -c/M * U0

V0 = 100         
U0 = 173
ang = 30.0      
c = 0.5       
dt = 0.1  
M = 2.0         
g = -9.81 
h = 0.1

t = [0]                         
x = [0]                         
y = [0]
vx = [V0*np.cos((ang*np.pi)/180)]  
vy = [U0*np.sin((ang*np.pi)/180)]
ax = [-(c*V0*np.cos((ang*np.pi)/180))/M]          
ay = [g-(c*U0*np.sin((ang*np.pi)/180))/M]



def solveODEsWithR4Method(t, x, y, vx, vy, ax, ay):
   t.append(t[0]+dt)                
   vx.append(vx[0]+dt*ax[0])  
   vy.append(vy[0]+dt*ay[0])
   x.append(x[0]+dt*vx[0])    
   y.append(y[0]+dt*vy[0])    
   vel = np.sqrt(vx[0+1]**2 + vy[0+1]**2)   
   drag = c*vel                                    
   ax.append(-(drag*np.cos(ang/180*np.pi))/M)     
   ay.append(-g-(drag*np.sin(ang/180*np.pi)/M)) 
return -c/M * V0 + g 


fig,ax = plt.subplots()
ax.plot(t, M, g, c)
plt.show()

Answer 1

在这个关于幻想杀手病毒的错觉大流行的时代，没有其他任何事情发生……

请不要将其称为空气阻力，即k*|v|*v 。 至于这是一个力，系数k需要有单位kg/m ，这不是你给出的，你的阻力公式可能是正确的。 相反，将其称为“中等阻力”，防水性能会如此。

然后编码加速度

c = 0.5; m = 2; g = -9.81;
def motion(x,v):
    x,y,vx,vy = v
    return np.array([vx,vy, -c/m * vx + g, -c/m * vy ])

从适合向量状态的地方复制 RK4 代码

def RK4step(f,u,dt):
    k1 = dt*f(u)
    k2 = dt*f(u+0.5*k1)
    k3 = dt*f(u+0.5*k2)
    k4 = dt*f(u+k3)
    return u + (k1+2*k2+2*k3+k4)/6

def RK4integrate(f, u0, tspan):
    u = np.zeros([len(tspan),len(u0)])
    u[0,:]=u0
    for k in range(1, len(tspan)):
        u[k,:] = RK4step(f, u[k-1], tspan[k]-tspan[k-1])
    return u

并将两个代码一起应用以计算轨迹

dt = .1
t = np.arange(0,10,dt)
u0 = np.array([0, 0, 173, 100])

sol_RK4 = RK4integrate(motion, u0, t)
x,y,vx,vy = sol_RK4.T
plt.plot(x,y)

Answer 2

设置v = dr/dt 。 那么方程变为：

dv/dt = - (c/m) * v  +  g

将等式两边与exp((c/m)*t)相乘：

exp((c/m)*t) * dv/dt = - exp((c/m)*t) * (c/m) * v  +  exp((c/m)*t) * g

将第一列术语从右侧移到左侧：

exp((c/m)*t) * dv/dt + exp((c/m)*t) * (c/m) * v  =  exp((c/m)*t) * g

然后通过微分的乘积规则，应用于exp((c/m)*t) * v ，得到

d/dt( exp((c/m)*t) * v )  =  exp((c/m)*t) * g

d/dt( exp((c/m)*t) * v )  =  d/dt( (m/c) * exp((c/m)*t) * g )

现在您可以对t的两边进行积分，并且存在一个向量u0使得

exp((c/m)*t) * v  =  u0  +  (m/c) * exp((c/m)*t) * g

两边乘以exp(-(c/m)*t) ：

v  =  exp(-(c/m)*t) * u0  +  (m/c) * g

如果初始速度为 v0，则必须设置u0 = v0 - (m/c)*g ，因此速度的最终公式为：

v  =  exp(-(c/m)*t) * ( v0 - (m/c)*g )  +  (m/c) * g

将v对t再积分一次，得到 position 的公式：

r  = r0 - (m/c) * ( v0 + (m/c)*g )  - (m/c) * exp(-(c/m)*t) * ( v0 - (m/c)*g )  +  (m/c) * t * g

其中r0是初始 position。

所以解决方案的最终公式是

r  = r0 - v0 + (m/c)*g  +  exp(-(c/m)*t) * ( v0 - (m/c)*g )  +  (m/c) * t * g

v  =  exp(-(c/m)*t) * ( v0 - (m/c)*g )  +  (m/c) * g