如何忽略矩阵乘法中的零？

Question

假设我有一个10000 x 10000矩阵W，随机数，两个10000暗淡矢量U和V，U中有随机数，V用零填充。 使用numpy或pytorch，计算U @ W和V @ W需要相同的时间。 我的问题是，有没有一种方法可以优化矩阵乘法，使其在计算过程中跳过或忽略零，所以像V @ W这样的东西会更快地计算出来？

import numpy as np
W = np.random.rand(10000, 10000)

U = np.random.rand(10000)
V = np.zeros(10000)

y1 = U @ W
y2 = V @ W
# computing y2 should take less amount of time than y1 since it always returns zero vector.

Answer 1

您可以使用scipy.sparse类来提高性能，但这完全取决于矩阵。 例如，使用V作为稀疏矩阵获得的性能将是很好的。 通过将U转换为稀疏矩阵而获得的结果不会很大，或者实际上可能会降低性能（在U实际上是密集的情况下）。

import numpy as np
import scipy.sparse as sps

W = np.random.rand(10000, 10000)
U = np.random.rand(10000)
V = np.zeros(10000)

%timeit U @ W
125 ms ± 1.45 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)
%timeit V @ W
128 ms ± 6.4 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

Vsp = sps.csr_matrix(V)
Usp = sps.csr_matrix(U)
Wsp = sps.csr_matrix(W)

%timeit Vsp.dot(Wsp)
1.34 ms ± 15.6 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each) 
%timeit Vsp @ Wsp
1.39 ms ± 37.2 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)
%timeit Usp @ Wsp
2.37 s ± 84.3 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

正如您所看到的，对于V @ W使用稀疏方法有一个重大改进，但实际上您降低了U @ W性能，因为U或W中的条目都不为零。

Answer 2

In [274]: W = np.random.rand(10000, 10000) 
     ...:  
     ...: U = np.random.rand(10000) 
     ...: V = np.zeros(10000)                                                                            
In [275]: timeit U@W                                                                                     
125 ms ± 263 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)
In [276]: timeit V@W                                                                                     
153 ms ± 18.2 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

现在考虑一个案例，其中V 100个元素是非零（1s）。 稀疏实现可能是：

In [277]: Vdata=np.ones(100); Vind=np.arange(0,10000,100)                                                
In [278]: Vind.shape                                                                                     
Out[278]: (100,)
In [279]: timeit Vdata@W[Vind,:]                                                                         
4.99 ms ± 102 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

我此时有点意外，认为W的索引可以抵消乘法时间。

让我们改变V来验证结果：

In [280]: V[Vind]=1                                                                                      
In [281]: np.allclose(V@W, Vdata@W[Vind,:])  

如果我必须先找到非零元素怎么办：

In [282]: np.allclose(np.where(V),Vind)                                                                  
Out[282]: True
In [283]: timeit idx=np.where(V); V[idx]@W[idx,:]                                                        
5.07 ms ± 77.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

W的大小，特别是第二维可能是这个加速的重要因素。 在这些大小下，内存管理可以像原始乘法一样影响速度。

===

在这种情况下， sparse比我预期的要好（其他测试表明我需要稀疏度在1％左右才能获得时间优势）：

In [294]: from scipy import sparse                                                                       
In [295]: Vc=sparse.csr_matrix(V)                                                                        
In [296]: Vc.dot(W)                                                                                      
Out[296]: 
array([[46.01437545, 50.46422246, 44.80337192, ..., 55.57660691,
        45.54413903, 48.28613399]])
In [297]: V.dot(W)                                                                                       
Out[297]: 
array([46.01437545, 50.46422246, 44.80337192, ..., 55.57660691,
       45.54413903, 48.28613399])
In [298]: np.allclose(Vc.dot(W),V@W)                                                                     
Out[298]: True

In [299]: timeit Vc.dot(W)                                                                               
1.48 ms ± 84.8 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

即使稀疏创作：

In [300]: timeit Vm=sparse.csr_matrix(V); Vm.dot(W)                                                      
2.01 ms ± 7.89 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)