如何求解函数y = f（x，y），即函数值取决于自身

Question

我想在python中解决以下方程式。 问题是因变量“ y”也出现在等式的右侧。 第一个问题，在数学中如何命名这些方程式？

如果我跳过RHS中的“ y”，就可以解决。 但是不知道如何解决将其固定在原位的问题。

我使用以下代码：从matplotlib导入numpy作为np导入为plt pyplot

A=2
B=1.3
C=0.25
D=1.25
def func(x,A,B,C,D):
  y=A*np.sinh(((x)/B-C)/D)  #I skipped (x-y) here
  return y

x=np.linspace(-3,3,200)
y=func(x,A,B,C,D)
plt.plot(x,y)
plt.show()

Answer 1

此类非线性方程通常以迭代方式求解。 设置y=0 ，求解方程，获取新y ，将新值插入RHS并重复该过程。 跟踪值y(j)-y(j-1)以检查收敛性。 如果未过渡，请尝试将先前的RHS零件与具有一定权重的当前零件混合：RHS（j）= w * RHS（j）+（1-w）RHS（j-1）。 以下是一些有用的链接：

维基

图书：几个变量中非线性方程的迭代解法作者：JM Ortega，WC Rheinboldt

这是修改后的示例：

import matplotlib.pyplot as plt
A=2
B=1.3
C=0.25
D=1.25
def func(x,z,A,B,C,D):
  y=A*np.sinh(((x-z)/B-C)/D)  #I skipped (x-y) here
  return y

x=np.linspace(-3,3,200)
y = np.zeros(x.shape)
w = 0.4
d = 10
track_d = []

while d > 0.01:
    track_d.append(d)
    temp = y
    y = w * y + (1-w) * func(x,y,A,B,C,D)
    d = np.max(np.abs(temp-y))

y=func(x, y,A,B,C,D)
plt.plot(x,y)
plt.show()

plt.plot(track_d)
plt.show()

对于较大的间隔，它看起来更有趣，请注意参数w。

import matplotlib.pyplot as plt
A=2
B=1.3
C=0.25
D=1.25
def func(x,z,A,B,C,D):
  y=A*np.sinh(((x-z)/B-C)/D)  #I skipped (x-y) here
  return y

x=np.linspace(-30,30,200)
y = np.zeros(x.shape)
w = 0.99999999
d = 10
track_d = []

while d > 0.0000001:
    track_d.append(d)
    temp = y
    y = w * y + (1-w) * func(x,y,A,B,C,D)
    d = np.max(np.abs(temp-y))

y=func(x, y,A,B,C,D)
plt.plot(x,y)
plt.show()
# look at the convergence
plt.plot(track_d)
plt.show()

Answer 2

您的方程式可以非常简化，以获得x作为y的函数。 首先，我们可以按如下方式重写您的方程式：

y = a * sinh（b * x + c * y + d）

请注意，这带有一些关于A，B，C，D的非零假设

b * x + c * y + d = arcsinh（y / a）

可以使用自然对数重写arcsinh ：b * x + c * y + d = ln（y / a + sqrt（（y / a）** 2 +1）））

这给出：

x =（1 / b）*（ln（y / a + sqrt（（y / a）** 2 +1）））-c * y-d）

然后，您可以针对a，b，c，d的各种值绘制此图。

Answer 3

您的函数通常以以下形式称为递归关系

可以通过数值选择y的起始值进行求解，然后将其放入方程中，然后计算下一个y值。 然后重复计算，将下一个y值作为先前的y值放入方程中。 循环重复计算，直到y值收敛为止。 Y值可能不会收敛。 即使在这种情况下，您也可以进一步分析系统。 您可以尝试绘制图y _n = f（y _n-1 ）并查看得到的结果。 如果系统是稳定的，则曲线必须是高度周期性且闭合的 ，否则非收敛系统将是混乱的，这样的方程式您可以抛弃。

稳定系统的一些例子是李沙育曲线 ：

混沌系统的一些例子是Rossler吸引子 ：

y = A * sinh（-yC）分析

要查看您的系统是否稳定-让我们尝试使用双曲线正递归关系来调制sin(x)函数： y=k*SIN(x)+0.88*SINH(-y-0.02)并尝试绘制此y=k*SIN(x)+0.88*SINH(-y-0.02) y _prev vs y _next的递归参数图。

K = 0

这里没什么好看的，因为在这种情况下，我们得到的原始方程式在数据点之间的分辨率很低。 它们全都沿着一条线分布，并带有一些我们无法用眼睛分辨的小散射-这就是为什么我们在这里需要sin（x）的原因！

K = 0.0005

更有趣。 现在可以看到，您的“线”根本就不是线，并且具有一些混乱的行为。 但是，让我们看一些更具吸引力的东西。

K = 0.005

在某些地方，sinh（）复发是成功的，但在某些地方-sin（）。 让我们尝试强制赢得sin（）函数，以便能够查看它是否会定期进行调制以及是否具有闭环。 所以最终的形象。

K = 0.05

因此，它既不是高度周期性的，也不是封闭的。 我们有某种类型的吸引子。 这意味着，在一般情况下，您的方程式表现得非常混乱，因此不值一分钱。 当然，在您给定的确切参数范围内，它可能表现为线性函数。 但是圆的无穷小段也重新组合了一条线，这是什么意思？ 没有。 您不能依赖非常具体的输入范围。 如果您的业务部门会稍微改变需求，则等式的行为将发生巨大变化。 因此，唯一合理的步骤是将其从窗口中移出并重新构建不同的（此时稳定的）数据模型。 或者只是说这是不可能完成的。