如何求解函數y = f（x，y），即函數值取決於自身

Question

我想在python中解決以下方程式。 問題是因變量“ y”也出現在等式的右側。 第一個問題，在數學中如何命名這些方程式？

如果我跳過RHS中的“ y”，就可以解決。 但是不知道如何解決將其固定在原位的問題。

我使用以下代碼：從matplotlib導入numpy作為np導入為plt pyplot

A=2
B=1.3
C=0.25
D=1.25
def func(x,A,B,C,D):
  y=A*np.sinh(((x)/B-C)/D)  #I skipped (x-y) here
  return y

x=np.linspace(-3,3,200)
y=func(x,A,B,C,D)
plt.plot(x,y)
plt.show()

Answer 1

此類非線性方程通常以迭代方式求解。 設置y=0 ，求解方程，獲取新y ，將新值插入RHS並重復該過程。 跟蹤值y(j)-y(j-1)以檢查收斂性。 如果未過渡，請嘗試將先前的RHS零件與具有一定權重的當前零件混合：RHS（j）= w * RHS（j）+（1-w）RHS（j-1）。 以下是一些有用的鏈接：

維基

圖書：幾個變量中非線性方程的迭代解法作者：JM Ortega，WC Rheinboldt

這是修改后的示例：

import matplotlib.pyplot as plt
A=2
B=1.3
C=0.25
D=1.25
def func(x,z,A,B,C,D):
  y=A*np.sinh(((x-z)/B-C)/D)  #I skipped (x-y) here
  return y

x=np.linspace(-3,3,200)
y = np.zeros(x.shape)
w = 0.4
d = 10
track_d = []

while d > 0.01:
    track_d.append(d)
    temp = y
    y = w * y + (1-w) * func(x,y,A,B,C,D)
    d = np.max(np.abs(temp-y))

y=func(x, y,A,B,C,D)
plt.plot(x,y)
plt.show()

plt.plot(track_d)
plt.show()

對於較大的間隔，它看起來更有趣，請注意參數w。

import matplotlib.pyplot as plt
A=2
B=1.3
C=0.25
D=1.25
def func(x,z,A,B,C,D):
  y=A*np.sinh(((x-z)/B-C)/D)  #I skipped (x-y) here
  return y

x=np.linspace(-30,30,200)
y = np.zeros(x.shape)
w = 0.99999999
d = 10
track_d = []

while d > 0.0000001:
    track_d.append(d)
    temp = y
    y = w * y + (1-w) * func(x,y,A,B,C,D)
    d = np.max(np.abs(temp-y))

y=func(x, y,A,B,C,D)
plt.plot(x,y)
plt.show()
# look at the convergence
plt.plot(track_d)
plt.show()

Answer 2

您的方程式可以非常簡化，以獲得x作為y的函數。 首先，我們可以按如下方式重寫您的方程式：

y = a * sinh（b * x + c * y + d）

請注意，這帶有一些關於A，B，C，D的非零假設

b * x + c * y + d = arcsinh（y / a）

可以使用自然對數重寫arcsinh ：b * x + c * y + d = ln（y / a + sqrt（（y / a）** 2 +1）））

這給出：

x =（1 / b）*（ln（y / a + sqrt（（y / a）** 2 +1）））-c * y-d）

然后，您可以針對a，b，c，d的各種值繪制此圖。

Answer 3

您的函數通常以以下形式稱為遞歸關系

可以通過數值選擇y的起始值進行求解，然后將其放入方程中，然后計算下一個y值。 然后重復計算，將下一個y值作為先前的y值放入方程中。 循環重復計算，直到y值收斂為止。 Y值可能不會收斂。 即使在這種情況下，您也可以進一步分析系統。 您可以嘗試繪制圖y _n = f（y _n-1 ）並查看得到的結果。 如果系統是穩定的，則曲線必須是高度周期性且閉合的 ，否則非收斂系統將是混亂的，這樣的方程式您可以拋棄。

穩定系統的一些例子是李沙育曲線 ：

混沌系統的一些例子是Rossler吸引子 ：

y = A * sinh（-yC）分析

要查看您的系統是否穩定-讓我們嘗試使用雙曲線正遞歸關系來調制sin(x)函數： y=k*SIN(x)+0.88*SINH(-y-0.02)並嘗試繪制此y=k*SIN(x)+0.88*SINH(-y-0.02) y _prev vs y _next的遞歸參數圖。

K = 0

這里沒什么好看的，因為在這種情況下，我們得到的原始方程式在數據點之間的分辨率很低。 它們全都沿着一條線分布，並帶有一些我們無法用眼睛分辨的小散射-這就是為什么我們在這里需要sin（x）的原因！

K = 0.0005

更有趣。 現在可以看到，您的“線”根本就不是線，並且具有一些混亂的行為。 但是，讓我們看一些更具吸引力的東西。

K = 0.005

在某些地方，sinh（）復發是成功的，但在某些地方-sin（）。 讓我們嘗試強制贏得sin（）函數，以便能夠查看它是否會定期進行調制以及是否具有閉環。 所以最終的形象。

K = 0.05

因此，它既不是高度周期性的，也不是封閉的。 我們有某種類型的吸引子。 這意味着，在一般情況下，您的方程式表現得非常混亂，因此不值一分錢。 當然，在您給定的確切參數范圍內，它可能表現為線性函數。 但是圓的無窮小段也重新組合了一條線，這是什么意思？ 沒有。 您不能依賴非常具體的輸入范圍。 如果您的業務部門會稍微改變需求，則等式的行為將發生巨大變化。 因此，唯一合理的步驟是將其從窗口中移出並重新構建不同的（此時穩定的）數據模型。 或者只是說這是不可能完成的。