如何在 Coq 中将 P->Q->R 形式的命题同时应用于两个假设 P 和 Q？

Question

我试图证明forall PQ R: Prop, P -> Q -> (P -> Q -> R) -> R 。 我的证明如下。

Goal forall P Q R : Prop, P -> Q -> (P -> Q -> R) -> R.
Proof.
  intros P Q R H1 H2 H3.
  apply H3 in H1.
  exact H1.
  exact H2.
Qed.

在 H1 中应用 H3 时，会出现两个目标。 但是，我想更直接地获得 R ，就像apply H3 in H1 and H2一样。 但是我找不到这样的方法。 我如何实现这一目标？

我已经知道以下也可以。 但这不是我想要的。 我不想增加目标。

Goal forall P Q R : Prop, P -> Q -> (P -> Q -> R) -> R.
Proof.
  intros P Q R H1 H2 H3.
  apply H3.
  exact H1.
  exact H2.
Qed.

Answer 1

您可以自己直接将H1和H2应用到H3 ，而无需使用apply策略。

您的H3的类型为P -> Q -> R （一个 function ，它接受P和Q的证明并返回R的证明）。 因此，表达式H3 H1 H2的类型为R 。

有了这个，您可以将证明简化为以下内容：

Goal forall P Q R : Prop, P -> Q -> (P -> Q -> R) -> R.
Proof.
  intros P Q R H1 H2 H3.
  apply (H3 H1 H2).
Qed.

实际上，您的证明与上述证明完全相同，因为所有apply策略所做的都是将 function 应用于参数。