如何在coq中证明引理“（P \\ / Q）/ \\ ~P - > Q.”

Question

我试图用tatics [intros]，[apply]，[assume]，[destruct]，[left]，[right]，[split]证明这个引理但是失败了。 任何人都可以教我如何证明它吗？

Lemma a : (P \/ Q) /\ ~P -> Q.
proof.

一般来说，如何证明诸如false-> P，P / ~P等简单命题？

Answer 1

你缺少的策略是矛盾 ，用于证明包含矛盾假设的目标。 因为你不允许使用矛盾，我相信你想要应用的引理是False的归纳原则。 在这样做之后，您可以应用否定的命题并通过假设关闭分支。 请注意，您可以比教练要求做得更好，并且不使用任何列出的策略！ 析取三段论的证明术语相对容易写：

Definition dis_syllogism (P Q : Prop) (H : (P ∨ Q) ∧ ¬P) : Q :=
  match H with
    | conj H₁ H₂ =>
      match H₁ with
      | or_introl H₃ => False_ind Q (H₂ H₃)
      | or_intror H₃ => H₃
      end
  end.

Answer 2

Section Example.

  (* Introduce some hypotheses.. *)
  Hypothesis P Q : Prop.

  Lemma a : (P \/ Q) /\ ~P -> Q.
    intros.
    inversion H.
    destruct H0.
      contradiction.
      assumption.
  Qed.

End Example.

Answer 3

为了证明所有这些简单的事情，你有战术家庭tauto ， rtauto ， intuition和firstorder 。

我相信它们都比tauto更强大，这是直觉主义命题逻辑的完整决策程序。

然后， intuition允许你使用一些提示和引理，并且firstorder可以推理出一阶归纳。

当然，在文档中有更多细节，但这些是你想要用于这些目标的策略。

Answer 4

请记住， ~P表示P->False ，反转False假设完成目标（因为False没有构造函数）。 所以你真的需要apply和inversion 。

Lemma a : forall (P Q:Prop), (P \/ Q) /\ ~P -> Q.
Proof.
  intros. 
  inversion H.
  inversion H0.
  - apply H1 in H2.  (* applying ~P on P gives H2: False *)
    inversion H2.
  - apply H2.
Qed.