如何在coq中證明引理“（P \\ / Q）/ \\ ~P - > Q.”

Question

我試圖用tatics [intros]，[apply]，[assume]，[destruct]，[left]，[right]，[split]證明這個引理但是失敗了。 任何人都可以教我如何證明它嗎？

Lemma a : (P \/ Q) /\ ~P -> Q.
proof.

一般來說，如何證明諸如false-> P，P / ~P等簡單命題？

Answer 1

你缺少的策略是矛盾 ，用於證明包含矛盾假設的目標。 因為你不允許使用矛盾，我相信你想要應用的引理是False的歸納原則。 在這樣做之后，您可以應用否定的命題並通過假設關閉分支。 請注意，您可以比教練要求做得更好，並且不使用任何列出的策略！ 析取三段論的證明術語相對容易寫：

Definition dis_syllogism (P Q : Prop) (H : (P ∨ Q) ∧ ¬P) : Q :=
  match H with
    | conj H₁ H₂ =>
      match H₁ with
      | or_introl H₃ => False_ind Q (H₂ H₃)
      | or_intror H₃ => H₃
      end
  end.

Answer 2

Section Example.

  (* Introduce some hypotheses.. *)
  Hypothesis P Q : Prop.

  Lemma a : (P \/ Q) /\ ~P -> Q.
    intros.
    inversion H.
    destruct H0.
      contradiction.
      assumption.
  Qed.

End Example.

Answer 3

為了證明所有這些簡單的事情，你有戰術家庭tauto ， rtauto ， intuition和firstorder 。

我相信它們都比tauto更強大，這是直覺主義命題邏輯的完整決策程序。

然后， intuition允許你使用一些提示和引理，並且firstorder可以推理出一階歸納。

當然，在文檔中有更多細節，但這些是你想要用於這些目標的策略。

Answer 4

請記住， ~P表示P->False ，反轉False假設完成目標（因為False沒有構造函數）。 所以你真的需要apply和inversion 。

Lemma a : forall (P Q:Prop), (P \/ Q) /\ ~P -> Q.
Proof.
  intros. 
  inversion H.
  inversion H0.
  - apply H1 in H2.  (* applying ~P on P gives H2: False *)
    inversion H2.
  - apply H2.
Qed.