Coq：在沒有 `contradiction` 策略的情況下證明 `P -> ~P -> Q`？

Question

我正在學習 Coq，我剛剛發現它是有建設性的。

這是我可以證明“矛盾意味着一切”並且它有效的一種方式：

Theorem contradiction_implies_anything: forall P Q : Prop, P -> ~P -> Q.
Proof.
  intros P Q p not_p.
  contradiction.
  Qed.

請注意，沒有構造Q ，因此我假設 Coq 證明引擎中內置了contradiction 。 在我看來，否則必須證明Q是如何構造的，而任何Q都不可能，因此無法證明上述定理。 特別是我無法在以下（偽）代碼中證明上述定理：

intros P Q p not_p.
introduce P \/ Q. # here I have to construct Q, right?.. that's the point where Coq's "constructivity" becomes an obstruction
introduce ~P \/ Q. # same here
run case analysis on both and figure out that Q must be true.
Qed.

我對嗎？

Answer 1

這里實際上並不需要contradiction ，主要有兩個原因：

1. ~ P是P -> False的標准庫符號，這意味着如果你有假設P和~ P ，你可以應用~ P到P得到False 。

2. 標准庫像這樣定義False ： Inductive False : Prop :=. 這意味着，如果您destruct類型為False的假設，則生成的案例分析將有零個案例。 也就是說，你的證明就完成了！

所以，總而言之，你可以像這樣證明你的定理：

Theorem contradiction_implies_anything: forall P Q : Prop, P -> ~P -> Q.
Proof.
  intros P Q p not_p.
  apply not_p in p.
  destruct p.
Qed.

Answer 2

在 Coq 中，否定定義如下：

Inductive False : Prop := 
  (* An inductive proposition with no constructors *). 
Definition not (P : Prop) : Prop := P -> False.

您證明的引理是以下更原始原則的結果：

Lemma exfalso (Q : Prop) : False -> Q.
Proof. intros contra. destruct contra. Qed.

直觀地說，如果我們知道一個歸納命題P成立，並且我們想證明其他一些Q成立，我們需要做的就是考慮所有可以應用來建立P的構造函數。 這就是destruct策略的作用。 但是當P為False ，沒有構造函數，所以我們不必做任何事情。

我喜歡對這種情況的看法如下：這個過程並不是構造了Q的證明，而是我們在那里展示了我們不需要構造任何東西。

鑒於exfalso ，很容易用更原始的術語證明你的原始陳述（我建議你通過這個證明來看看發生了什么！）：

Goal forall P Q : Prop, P -> ~P -> Q.
Proof.
intros P Q Hyes Hno.
apply exfalso. apply Hno. apply Hyes.
Qed.