如何在Coq中證明（p-> q）->（〜p \\ / q）

Question

我正在嘗試使用公理在Coq中證明（p-> q）->（〜p / q）：

Axiom tautology : forall P:Prop, P \/ ~ P.

我試圖通過應用p-> q將〜p / q轉換為〜p / p。 所以做這樣的事情：

Theorem Conversion: forall (p q: Prop),(p -> q) -> (~ p \/ q).
Proof.
  intros p q.
  intros p_implies_q.
  (do something here, change ~p\/q into ~p\/p)
  apply tautology...

但是我不知道該怎么辦。 如果有更好的方法，請告訴我。 謝謝！。

Answer 1

使用tautology一種方法是destruct策略。 這使您可以簡化為p為true和p為非true的情況。

Axiom tautology : forall P:Prop, P \/ ~ P.

Theorem Conversion: forall (p q: Prop),(p -> q) -> (~ p \/ q).
Proof.
  intros p q.
  intros p_implies_q.
  destruct (tautology p) as [p_true | p_not_true].
  - (* prove ~p \/ q using p *)
  - (* prove ~p \/ q using ~p *)
Qed.

您能看到在每種情況下如何證明~p \\/ q嗎？