寻找 3D 函数的梯度向量

Question

我有以下功能

def f(x,y):
    return -(x**2+y**2-2)

函数是hemishpere，在这个函数的表面有一个点(x0,y0,z0)，我需要找到显示最大方向的梯度向量。

我有这个代码

Ex,Ey= np.gradient(f(X,Y))
EX, EY = np.meshgrid(Ex,Ey)
Ex_2=max(list(map(max, Ex)))
Ey_2=max(list(map(max, Ey)))

我想知道是否有另一种方法可以找到函数（梯度向量）的最大值的向量，其初始点在（x0，y0）？

*函数 f(x,y) 由用户给出，这意味着我无法定义 df 因为我不知道将给出的函数

Answer 1

在您提出的情况下，我只能看到寻找np.gradient替代品的两个原因：

1. 由于精度问题，您不想使用数值微分（这是np.gradient所做的）。

2. 您负担不起使用 numpy（这似乎不太可能，但也许您的嵌入式平台非常受限？）。

在第一种情况下，我认为您可以研究符号微分或自动微分。 前者通常要慢得多，而且使用起来也不那么直接。 自动微分通常比数值微分更精确，并且可以在许多库中轻松获得，您可以根据要对用户提供的代码施加多少约束来选择这些库，例如

#Autograd (pseudocode)
import autograd.numpy as np
from autograd import grad

def f(x,y):
    #do something with x,y
    #...
    return some_value

df=grad(f)
u=df(1,1) #gradient of f at point (1,1)

或者

#pytorch, might be overkill in your case
import torch
def f(x,y):
    """
    x,y should be torch.Tensor
    """ 
    #do stuff
u=f(x,y)
u.backward()
x.grad #this is the gradient w.r.t x

如果主要关注的是第二种情况并且您不想使用额外的库，则一种可能性是您自己计算具有有限差分的导数，这不会对您的用户增加任何限制，但可能会损害精度，具体取决于它们的功能是。 另一种选择是对用户提供的函数实施约束：要么强制要求它也返回自己的雅可比行列式，以便您可以在您身边的链式规则中使用它，要么定义自己的类型，例如双数这将让您计算导数，但会强制用户在定义函数/变量时从该类型派生。