尋找 3D 函數的梯度向量

Question

我有以下功能

def f(x,y):
    return -(x**2+y**2-2)

函數是hemishpere，在這個函數的表面有一個點(x0,y0,z0)，我需要找到顯示最大方向的梯度向量。

我有這個代碼

Ex,Ey= np.gradient(f(X,Y))
EX, EY = np.meshgrid(Ex,Ey)
Ex_2=max(list(map(max, Ex)))
Ey_2=max(list(map(max, Ey)))

我想知道是否有另一種方法可以找到函數（梯度向量）的最大值的向量，其初始點在（x0，y0）？

*函數 f(x,y) 由用戶給出，這意味着我無法定義 df 因為我不知道將給出的函數

Answer 1

在您提出的情況下，我只能看到尋找np.gradient替代品的兩個原因：

1. 由於精度問題，您不想使用數值微分（這是np.gradient所做的）。

2. 您負擔不起使用 numpy（這似乎不太可能，但也許您的嵌入式平台非常受限？）。

在第一種情況下，我認為您可以研究符號微分或自動微分。 前者通常要慢得多，而且使用起來也不那么直接。 自動微分通常比數值微分更精確，並且可以在許多庫中輕松獲得，您可以根據要對用戶提供的代碼施加多少約束來選擇這些庫，例如

#Autograd (pseudocode)
import autograd.numpy as np
from autograd import grad

def f(x,y):
    #do something with x,y
    #...
    return some_value

df=grad(f)
u=df(1,1) #gradient of f at point (1,1)

或者

#pytorch, might be overkill in your case
import torch
def f(x,y):
    """
    x,y should be torch.Tensor
    """ 
    #do stuff
u=f(x,y)
u.backward()
x.grad #this is the gradient w.r.t x

如果主要關注的是第二種情況並且您不想使用額外的庫，則一種可能性是您自己計算具有有限差分的導數，這不會對您的用戶增加任何限制，但可能會損害精度，具體取決於它們的功能是。 另一種選擇是對用戶提供的函數實施約束：要么強制要求它也返回自己的雅可比行列式，以便您可以在您身邊的鏈式規則中使用它，要么定義自己的類型，例如雙數這將讓您計算導數，但會強制用戶在定義函數/變量時從該類型派生。