求指数方程或三角函数的复根

Question

如果你能帮我处理 sage 中的代码。 我想找到这种类型方程的根： e^(2*pi*b*i) 。 具有常数b和虚数单位i 。 这个等式也可以写成： cos(b*2*pi)+ i*sin(b*2*pi) 。 你知道执行此操作的任何命令吗？

我正在尝试：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import cmath
from scipy.optimize import fsolve
z=var('z')
a = cos(4*cmath.pi*z)+ cos(14*cmath.pi*z) + cos(62*cmath.pi*z)+ (I* 
(sin(4*cmath.pi*z)+ sin(14*cmath.pi*z)+ sin(62*cmath.pi*z)))
def f(x):
    return np.abs( math.cos(4*math.pi*x)+ math.cos(14*math.pi*x) + 
    math.cos(62*math.pi*x)+(1j*(math.sin(4*math.pi*x)+ 
    math.sin(14*math.pi*x)+ math.sin(62*math.pi*x))))
    x = fsolve(f, 0.01)

还有：

from sage.rings.polynomial.complex_roots import complex_roots
x=polygen(CC)
complex_roots(cos(4*math.pi*x)+ cos(14*math.pi*x) + cos(62*math.pi*x)+(I* 
(sin(4*math.pi*x)+ sin(14*math.pi*x)+ sin(62*math.pi*x))))

谢谢！

Answer 1

如果您正在寻找方程e^z=0的解，则没有。 z 是实数、纯虚数（如2*b*pi*i ）还是任意复数都没有关系。

如果分解e^z=e^(a+ib)=e^a*e^(ib) ，您可以很容易地看到这一点。 第二个因子e^(ib)位于复平面的单位圆上。 第一个因素是真实的，并且总是大于零。 因此乘积永远不会为零。