如何在 Coq 中留下未完成的目标

Question

在 Isabelle 中，您可以通过两种方式让目标未完成：

• 抱歉：将留下您的证明，该事实可用于以后的证明。
• 哎呀：会留下证明，但事实不能在以后的证明中使用。

Coq 中是否有类似的功能可以让我留下一个未完成的目标，稍后再回来？ 这对于在不填写所有细节的情况下勾画证明的结构很有用。 请注意如何在 Coq 中切换当前目标中的方法？ 修改证明结构。 那不是我要找的。

Answer 1

在 Coq 中有多种方法可以终止证明。 您可能知道Qed断言证明已完成。 当您希望证明具有计算内容时，也有Defined 。

您正在寻找的东西是：

• Admitted承认该证明，以便以后使用；
• Abort证明引理的Abort 。

它们可以这样使用：

Lemma foo : forall n, n = 0.
Proof.
  intro n. destruct n.
  - reflexivity.
  -
Abort.

Lemma bar : forall n, n = n.
Admitted.

在这两种情况下，您都可以在Admitted / Abort之前使用部分证明脚本，或者根本没有。

正如@HTNW 指出的那样，您还可以在证明的子目标中使用等价的策略admit和give_up 。 使用这些，证明然而，必须使用缔结或者Admitted或Abort 。

Lemma lem : forall A, A + A -> A.
Proof.
  intros A h.
  destruct h.
  - admit.
  - give_up.
Admitted.

在任何情况下，这个解决方案都抛弃了部分证明。 如果出于某种原因您想继续使用部分证明（例如，如果您想用它进行计算），一个常见的技巧是使用公理来关闭您想留待以后使用的目标。

Axiom cheating : forall A, A.

Tactic Notation "cheat" := apply cheating.

Lemma lem : forall A, A + A -> A.
Proof.
  intros A h.
  destruct h.
  - cheat.
  - cheat.
Defined. (* This is now ok *)

不过，您必须小心使用该技巧。 您可以使用Print Assumptions lem来检查引理是否已在没有公理的情况下得到证明。 如果它说“在上下文下关闭”你很好，否则它会列出它所依赖的公理，如果出现cheating你知道它没有完全被证明。