汉明数和双精度

Question

我正在尝试在 Haskell 中生成汉明数，试图改进明显的（请原谅函数的命名）

mergeUniq :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
mergeUniq (x:xs) (y:ys) = case x `compare` y of
                               EQ -> x : mergeUniq xs ys
                               LT -> x : mergeUniq xs (y:ys)
                               GT -> y : mergeUniq (x:xs) ys

powers :: [Integer]
powers = 1 : expand 2 `mergeUniq` expand 3 `mergeUniq` expand 5
  where
    expand factor = (factor *) <$> powers

我发现我能避免（更慢）的任意精度的Integer ，如果我所代表的数字作为三重的2-，3-和5-指数像data Power = Power { k2 :: !Int, k3 :: !Int, k5 :: !Int } ，其中数字被理解为2 k2 * 3 k3 * 5 k5 。 两个Power的比较则变为

instance Ord Power where
  p1 `compare` p2 = toComp (p1 `divP` gcdP) `compare` toComp (p2 `divP` gcdP)
    where
    divP p1 p2 = Power { k2 = k2 p1 - k2 p2, k3 = k3 p1 - k3 p2, k5 = k5 p1 - k5 p2 }
    gcdP = Power { k2 = min (k2 p1) (k2 p2), k3 = min (k3 p1) (k3 p2), k5 = min (k5 p1) (k5 p2) }
    toComp Power { .. } = fromIntegral k2 * log 2 + fromIntegral k3 * log 3 + fromIntegral k5 * log 5

所以，很粗略地讲，比较p₁ = 2 i₁ * 3 j₁ * 5 k₁和p₂ = 2 i₂ * 3 j₂ * 5 k₂ ，我们比较的对数p₁和p₂ ，这大概适合Double 。 但实际上我们做得更好：我们首先计算它们的 GCD（通过找到相应指数对的min p₁到目前为止只有Int算术！），将p₁和p₂除以 GCD（通过从相应的指数中减去min p₂也只有Int算术），并比较结果的对数。

但是，考虑到我们经过Double ，最终会失去精度。 这是我的问题的基础：

1. Double的有限精度什么时候会咬我？ 也就是说，如何估计2 i * 3 j * 5 k与具有“相似”指数的数字的比较结果会变得不可靠的i, j, k阶？
2. 我们除以 GCD（这可能大大降低了此任务的指数）这一事实如何修改前一个问题的答案？

我做了一个实验，将这种方式产生的数字与通过任意精度算术产生的数字进行比较，并且所有汉明数直到 1'000'000'000th 完全匹配（这花了我大约 15 分钟和 600 兆的 RAM验证）。 但这显然不是证据。

Answer 1

从经验上看，它高于大约 10 万亿分之一的汉明数，或者更高。

使用你的 GCD 技巧在这里对我们没有帮助，因为一些相邻的汉明数之间必然没有公因数。

更新：在 ideone和其他地方在线尝试，我们得到

4T  5.81s 22.2MB  -- 16 digits used.... still good
                  --  (as evidenced by the `True` below), but really pushing it.
((True,44531.6794,7.275957614183426e-11),(16348,16503,873),"2.3509E+13405")
-- isTruly  max        min logval           nth-Hamming       approx.
--  Sorted   logval      difference          as i,j,k          value
--            in band      in band                             in decimal
10T   11.13s 26.4MB
((True,60439.6639,7.275957614183426e-11),(18187,23771,1971),"1.4182E+18194")
13T   14.44s 30.4MB    ...still good
((True,65963.6432,5.820766091346741e-11),(28648,21308,1526),"1.0845E+19857")

---- same code on tio:
10T   16.77s
35T   38.84s 
((True,91766.4800,5.820766091346741e-11),(13824,2133,32112),"2.9045E+27624")
70T   59.57s
((True,115619.1575,5.820766091346741e-11),(13125,13687,34799),"6.8310E+34804")

---- on home machine:
100T: 368.13s
((True,130216.1408,5.820766091346741e-11),(88324,876,17444),"9.2111E+39198")

140T: 466.69s
((True,145671.6480,5.820766091346741e-11),(9918,24002,42082),"3.4322E+43851")

170T: 383.26s         ---FAULTY---
((False,155411.2501,0.0),(77201,27980,14584),"2.80508E+46783")

Answer 2

我猜您可以使用自适应任意精度来计算日志。

如果您选择 log base 2，则log2(2^i)是微不足道的。 这消除了 1 个因子，log2 的优点是比自然对数更容易计算（ https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_logarithm给出了一个算法，例如还有 Shanks ......）。

对于 log2(3) 和 log2(5)，您将开发足够的术语来区分两个操作数。 我不知道它是否会导致比在大整数算法中直接对 3^j 和 5^k 取幂并计算高位更多的运算......但是这些可以预先制表到所需的位数。