从头开始使用正则化 model 训练逻辑回归

Question

我正在尝试通过正则化实现逻辑回归 model。 我一直在计算梯度，因为当我运行梯度下降算法时，它实际上表明成本 function 是在增加而不是减少。

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def Probability(theta, X):
    return sigmoid(np.dot(X,theta))


def  cost_function_regression(theta, x, y, Lambda):
    # Computes the cost function for all the training samples
    m = x.shape[0]
    total_cost = (-(1 / m) * np.sum(
    np.dot(y.T, np.log(Probability( theta,x))) + np.dot((1 - y).T, np.log(
            1 - Probability(theta,x))))) + (Lambda/ 2)* np.sum(np.dot(theta, theta.T))
    return total_cost

def Gradient_regression( theta, X,y, Lambda ):
    m=X.shape[0]

    grad=(((1/m)* np.dot(X.T, Probability(theta,X)-y)) + np.sum((Lambda/m )* theta))
    return(grad)

Answer 1

我们将从建立理论开始，然后是工作示例，并以一些评论结束。

问题陈述

使用梯度下降法拟合/训练逻辑回归 model（与任何监督 ML 模型一样）的步骤如下

1. 使用参数 [ w,b ] 识别假设 function [ h(X) ]
2. 识别损失 function [ J(w,b) ]
3. 前向传播：使用假设函数 [ y_hat = h(X) ] 进行预测
4. 使用损失 function 计算实际 label [ y ] 和预测 label [ y_hat ] 之间的误差。

5. 反向传播：根据误差（通过计算梯度）调整假设 function 中的参数，使用更新规则

   

6. 如果梯度较高，则进入第 3 步，否则结束

计算梯度

逻辑回归的假设 function：

其中X是一个向量， X^i是向量的第 i 个元素。

逻辑回归常用的损失function是对数损失。 l2 正则化的对数损失为：

让我们计算梯度

相似地

现在我们知道了梯度，让我们编写梯度下降算法以适应我们的逻辑回归 model 的参数

玩具示例

# load data
iris = datasets.load_iris()
# Lets take only two classes
y = iris.target
X = iris.data[y != 2] 
y = y[y != 2]

# Normalize data to 0 mean and 1 std
X[:, 0] = (X[:, 0] - np.mean(X[:, 0]))/np.std(X[:, 0])
X[:, 1] = (X[:, 1] - np.mean(X[:, 1]))/np.std(X[:, 1])
X[:, 2] = (X[:, 2] - np.mean(X[:, 2]))/np.std(X[:, 2])
X[:, 3] = (X[:, 3] - np.mean(X[:, 3]))/np.std(X[:, 3])

def sigmoid(x):
    return 1 / (1+math.exp(-x))  

# initialize weights
w0, w1, w2, w3, b = 0.01,0.01,0.01,0.01,0.01
n = len(X)
# Learning rate
alpha = 0.01
# The gardient decent loop
while True:
    y_hat = [sigmoid(w0*x[0] + w1*x[1] + w2*x[2] + w3*x[3] + b) for x in X]
    delta_w0 = -np.sum([(y[j] - y_hat[j])*X[j,0] for j in range(n)])/n + 2*w0
    delta_w1 = -np.sum([(y[j] - y_hat[j])*X[j,1] for j in range(n)])/n + 2*w1
    delta_w2 = -np.sum([(y[j] - y_hat[j])*X[j,2] for j in range(n)])/n + 2*w2
    delta_w3 = -np.sum([(y[j] - y_hat[j])*X[j,3] for j in range(n)])/n + 2*w3
    delta_b = -np.sum([(y[j] - y_hat[j]) for j in range(n)])/n + 2*b

    w0 = w0 - alpha*delta_w0
    w1 = w1 - alpha*delta_w1
    w2 = w2 - alpha*delta_w2
    w3 = w3 - alpha*delta_w3

    b = b - alpha*delta_b

    if np.sum(np.abs([delta_w0, delta_w1, delta_w2, delta_w3, delta_b])) < 1e-5:
        break

# Make predictions
pred = [1 if i > 0.5 else 0 for i in y_hat]
# Find no:of correct predictions
correct  = np.sum([1 if pred[i] == y[i] else 0 for i in range(n)])
print (correct)

注释

1. 上面的玩具示例是以最低效的方式编码的。 目的是清楚地显示步骤而不是效率。 话虽如此，我们将不得不向量化操作（使用 np arrays 和矩阵操作）以提高效率。
2. 数据规范化很重要
3. 这些模型是在训练数据上训练的，性能是根据测试/验证数据来衡量的。