Python - 三角学，三点之间等角的中点

Question

我有点坚持一些基本的三角学。

我有三个点 A、B 和 C，由 A 和 C 之间的一些高度值和距离定义。 我通常将 B 作为 A 和 C 之间的中点距离。 情况是这样的：

随着 C 变低，如果 B 保持在原位，C 处的角度会变窄。 如何计算 B 使得 A 和 C 处的角度始终相同。 B 始终位于与 A 和 C 所在的平行线成 90 度的线上。

Answer 1

我想你要问的是：

固定 A 点，找到 C 点，使所示角度相等。

设水平线 C 位于线 y = 0 上。设点 A 和 B 所在的垂直线分别为 x = a 和 x = b。 因此，给定 By，我们必须找到满足 atan((Cx - a) / Ay) = atan((b - Cx) / By) 的 Cx。 因为分子和分母被选为正数，并且我们知道角度是锐角，所以我们可以知道反正切是双射，并且仅当 arguments 相等时，反正切才相等：

(Cx - a) / Ay = (b - Cx) / By
Cx/Ay - a/Ay = b/By - Cx/By
Cx/Ay + Cx/By = a/Ay + b/By
Cx(1/Ay + 1/By) = (a/Ay + b/By)
Cx = (a/Ay + b/By) / (1/Ay + 1/By)
   = (a/Ay + b/By) / [(Ay + By)/(AyBy)]
   = (AyBy)(a/Ay + b/By) / (Ay + By)
   = (aBy + bAy) / (Ay + By)

让我们检查一下结果。 如果 Ay = By - 即 A 和 B 处于相同高度 - 我们预计 C 正好在中间，对称。 令 Ay = By = h。 然后

Cx = (aBy + bAy) / (Ay + By)
   = (ah + bh) / (h + h)
   = (a + b) / 2

根据需要，我们得到 Cx = (a + b) / 2。 现在，想象一下 By >> Ay; 也就是说，B 比 A 离 C 所在的水平线远得多。 我们期望 Cx 接近 a，即 A 点所在的垂直线的 x 值。

Cx = (aBy + bAy) / (Ay + By)
   ~ aBy / By
   ~ a

请注意，我们删除了低阶项 Ay 和 bAy，因为它们远小于包含大值 By 的项。 这检查出来。 最后，想象一下 Ay >> By。 然后我们期望 Cx 接近 b：

Cx = (aBy + bAy) / (Ay + By)
   ~ bAy / Ay
   ~ b

同样，我们发现我们的公式符合我们的直觉。 因此，对于点

A = (a, Ay)
B = (b, By)

我们发现点 C 一定是

C = ((aBy + bAy) / (Ay + By), 0)

为了使角度相同。