递归复杂度T(n)=T(n/2)+T(n/2)+n^2？

Question

根据主定理，这个递归是 θ(n^2)，但是如果我们用树递归来解决这个问题，那么解决方案是 θ(n^2*logn)。 难道我做错了什么？

Answer 1

如果递归关系是 T(n) = 2T(n/2) + n^2，那么你是主定理的第三种情况，并且正则性条件适用，所以 T(n) = Theta(n^ 2）。 [c_crit 是 log_2(2) = 1, n^2 = Omega(n), 2(n/2)^2 = (n^2)/2 (所以 k<1, 特别是 k=1/2)]

如果你手动展开递归关系，那么你会得到：

T(n) = n^2 + 2(n/2)^2 + 4(n/4)^2 + 8(n/8)^2 + ...
     = n^2 ( 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)
     <= 2n^2

所以这个方法也给你 T(n) = Theta(n^2)。

将递归关系输入到 Wolfram Alpha 并查看它所说的方法给出了 T(n) ~ 2n^2，所以又是 Theta(n^2)。