球体体积中点的规则分布

Question

我正在尝试在球体的体积内生成规则的n个点。 我发现这个类似的答案（ https://scicomp.stackexchange.com/questions/29959/uniform-dots-distribution-in-a-sphere ）在球体表面上生成均匀的规则n个点，与以下代码：

import numpy as np 

n = 5000
r = 1
z = []
y = []
x = []
alpha = 4.0*np.pi*r*r/n 
d = np.sqrt(alpha) 
m_nu = int(np.round(np.pi/d))
d_nu = np.pi/m_nu
d_phi = alpha/d_nu
count = 0
for m in range (0,m_nu):
    nu = np.pi*(m+0.5)/m_nu
    m_phi = int(np.round(2*np.pi*np.sin(nu)/d_phi))
    for n in range (0,m_phi):
        phi = 2*np.pi*n/m_phi
        xp = r*np.sin(nu)*np.cos(phi)
        yp = r*np.sin(nu)*np.sin(phi)
        zp = r*np.cos(nu)
        x.append(xp)
        y.append(yp)
        z.append(zp)
        count = count +1

按预期工作：

如何修改它以在球体体积中生成一组常规的n点？

Answer 1

另一种方法来做到这一点，产生体积均匀：

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np

dim_len = 30
spacing = 2 / dim_len
point_cloud = np.mgrid[-1:1:spacing, -1:1:spacing, -1:1:spacing].reshape(3, -1).T

point_radius = np.linalg.norm(point_cloud, axis=1)
sphere_radius = 0.5
in_points = point_radius < sphere_radius

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(point_cloud[in_points, 0], point_cloud[in_points, 1], point_cloud[in_points, 2], )
plt.show()

Output（matplotlib 混淆了视图，但它是一个均匀采样的球体（体积））

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均匀采样，然后通过半径检查点是否在球体中。

统一抽样参考[请参阅此答案的编辑历史以了解天真抽样]。

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这种方法的缺点是会生成冗余点，然后将其丢弃。
它具有矢量化的优点，这可能弥补了缺点。 我没有检查。

通过花哨的索引，可以生成与此方法相同的点而不会生成冗余点，但我怀疑它是否可以轻松（或根本不）矢量化。

Answer 2

沿 X 均匀采样。对于每个 X 值，您从 X²+Y²=1 绘制两个 Y。 在这两个 Y 之间均匀采样。然后对于每个 (X, Y) 对，从 X²+Y²+Z²=1 中绘制两个 Z。 在这两个 Z 之间均匀采样。