在python中求解一个欠定非线性方程组

Question

我正在尝试在 python 中解决非线性方程的欠定系统。 目前我的计划是按以下方式进行，但不幸的是它没有成功。 我举一个小例子。

我有这个输入数据。

Lins = np.array([[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [1, 5, 2], [5, 2, 6]], 
                 [[7, 2, 3], [4, 5, 6], [5, 8, 7], [2, 1, 4]]], np.int32)

每条线代表多项式。 含义[1, 2, 3]代表1 x^2+2 x+3 ，而[5, 8, 7] 5 x^2+8 x+7等等。

要为我的系统“创建”方程，我执行以下操作：

def f(x):
    X = np.array([x**2, x, np.ones_like(x)]).T
    return np.sum(Lins * X[:,None], axis=(1, 2))

所以我的计划是用四个未知数 x1-x4 得到这两个方程：

1 x1^2+2 x1+3 + 4 x2^2+5 x2+6 + 1 x3^2+5 x3+6 + 5 x4^2+2 x4+6

7 x1^2+2 x1+3 + 4 x2^2+5 x2+6 + 5 x3^2+8 x3+7 + 2 x4^2+1 x4+4

之后，我导入我的求解器，并定义解向量 b。

from scipy.optimize import least_squares
b = np.array([52, 62])

最后，我尝试解决系统：

x = least_squares(lambda x: f(x) - b, np.asarray((1,1,1,1,1)), bounds=(0, 1)).x

我期待代表 4 个未知数 x1-x4 的解的四个值。 不幸的是，我收到此错误：

ValueError：操作数无法与形状一起广播 (2,4,3) (4,1,3)

对我来说，我将数据放入least_squares求解器的方式似乎存在错误。 但我无法弄清楚问题所在。 或者least_squares不适合解决欠定系统？

预先感谢您的所有帮助:)

Answer 1

Vandermonde 矩阵是解决这个问题的一个非常有用的矩阵。 如果我们使用函数 f 参数 x (=[x1, x2, x3, x4]) 创建一个 'vander' 矩阵，那么我们可以创建您在计划中描述的方程。

def f(x): ## x = [x1, x2, x3, x4]
    X = np.vander(x, 3)  ## Vandermonde Matrix [[x^2 x 1] ...]
    return np.sum(Lins * X, axis=(1, 2))

我不太熟悉解决这些系统，所以我不能说程序的其余部分是否会产生正确的解决方案。