获取多面体（3D 对象）的表面积

Question

我有一个 3D 表面，（想想 xy 平面）。 飞机可以倾斜。 （想想斜坡路）。

给定定义表面的 3D 坐标列表（ Point3D1X 、 Point3D1Y 、 Point3D1Z 、 Point3D12X 、 Point3D2Y 、 Point3D2Z 、 Point3D3X 、 Point3D3Y 、 Point3D3Z等），如何计算表面的面积？

请注意，我在这里的问题类似于在 2D 平面中查找区域。 在 2D 平面中，我们有一个定义多边形的点列表，使用这个点列表我们可以找到多边形的面积。 现在假设所有这些点都具有z值，它们在 3D 中被提升以形成一个表面。 我的问题是如何找到那个 3D 表面的面积？

Answer 1

既然你说是多面体，那么stacker的链接（ http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0101/algorithm_0101.htm ) 适用。

这是我针对您的情况对 C 代码的近似 C# 翻译：

// NOTE: The original code contained the following notice:
// ---------------------------------------
// Copyright 2000 softSurfer, 2012 Dan Sunday
// This code may be freely used and modified for any purpose
// providing that this copyright notice is included with it.
// iSurfer.org makes no warranty for this code, and cannot be held
// liable for any real or imagined damage resulting from its use.
// Users of this code must verify correctness for their application.
// ---------------------------------------
// area3D_Polygon(): computes the area of a 3D planar polygon
//    Input:  int n = the number of vertices in the polygon
//            Point[] V = an array of n+2 vertices in a plane
//                       with V[n]=V[0] and V[n+1]=V[1]
//            Point N = unit normal vector of the polygon's plane
//    Return: the (float) area of the polygon
static float
area3D_Polygon( int n, Point3D[] V, Point3D N )
{
    float area = 0;
    float an, ax, ay, az;  // abs value of normal and its coords
    int   coord;           // coord to ignore: 1=x, 2=y, 3=z
    int   i, j, k;         // loop indices

    // select largest abs coordinate to ignore for projection
    ax = (N.x>0 ? N.x : -N.x);     // abs x-coord
    ay = (N.y>0 ? N.y : -N.y);     // abs y-coord
    az = (N.z>0 ? N.z : -N.z);     // abs z-coord

    coord = 3;                     // ignore z-coord
    if (ax > ay) {
        if (ax > az) coord = 1;    // ignore x-coord
    }
    else if (ay > az) coord = 2;   // ignore y-coord

    // compute area of the 2D projection
    for (i=1, j=2, k=0; i<=n; i++, j++, k++)
        switch (coord) {
        case 1:
            area += (V[i].y * (V[j].z - V[k].z));
            continue;
        case 2:
            area += (V[i].x * (V[j].z - V[k].z));
            continue;
        case 3:
            area += (V[i].x * (V[j].y - V[k].y));
            continue;
        }

    // scale to get area before projection
    an = Math.Sqrt( ax*ax + ay*ay + az*az);  // length of normal vector
    switch (coord) {
    case 1:
        area *= (an / (2*ax));
        break;
    case 2:
        area *= (an / (2*ay));
        break;
    case 3:
        area *= (an / (2*az));
        break;
    }
    return area;
}

Answer 2

我赞成一些我认为正确的答案。 但我认为最简单的方法——无论是 2D 还是 3D，都是使用以下公式：

area = sum(V(i+1) × V(i))/2;

其中×是向量交叉。

执行此操作的代码是：

    public double Area(List<Point3D> PtList)
    {

        int nPts = PtList.Count;
        Point3D a;
        int j = 0;

        for (int i = 0; i < nPts; ++i)
        {
            j = (i + 1) % nPts;
            a += Point3D.Cross(PtList[i], PtList[j]);
        }
        a /= 2;
        return Point3D.Distance(a,default(Point3D));
    }

    public static Point3D Cross(Point3D v0, Point3D v1)
    {
        return new Point3D(v0.Y * v1.Z - v0.Z * v1.Y,
            v0.Z * v1.X - v0.X * v1.Z,
            v0.X * v1.Y - v0.Y * v1.X);
    }

请注意，该解决方案不依赖于 x 平面的投影，我认为这很笨拙。

你怎么认为？

Answer 3

你的意思是 3D 平面多边形的面积？

1. http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0101/algorithm_0101.htm
2. http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/area3d/
3. http://thebuildingcoder.typepad.com/blog/2008/12/3d-polygon-areas.html

Answer 4

@Graviton 我无法对上面的答案发表评论，所以我将提交一个新答案。

这可能是我对 c# 语法不熟悉，但我相信您的答案是缺少单位法向量的点积。 公式应该是：

area = n.sum( V(i+1) x V(i) )/2;

其中n是指平面的单位法向量， . 点积和x交叉积。

可以使用多边形的任意 3 个向量计算法线：

n = (V1-V0)x(V2-V0)/magnitude((V1-V0)x(V2-V0))

这是使用 Vector.js 库的 javascript 实现：

  function getArea (vecs) {
    var area = 0;
    var vecs = [];
    var j = 0;
    var a = new Vector(0,0,0);

    for (var i = 0; i < vecs.length; i++) {
      j = (i + 1) % vecs.length;
      a = a.add( vecs[i].cross(vecs[j]) );
    }
    a = a.divide(2);
    var v1 = vecs[1].subtract(vecs[0]);
    var v2 = vecs[2].subtract(vecs[0]);
    var normal = v1.cross(v2);
    normal = normal.unit();
    // area = a.length()/10000; // convert to m2
    area = (normal.dot(a))/10000;
    return area;
  };

Answer 5

您可以根据 2D 解决方案推导出解决方案。

考虑由一堆较小的三角形组成的多边形。

将每个三角形投影回 XY 平面。 您可以证明原始三角形的面积是投影三角形面积的 1/(nk) 倍。 （这里n是包含多边形的平面的法线单位，k是z方向的单位向量）

所以原始的总面积是投影到 XY 平面的多边形面积的 1/(nk) 倍。 您可以使用现有的 2D 公式计算出来。

您可以通过 (e1 x e2 ) / || 计算 n e1 x e2 || 其中 e1 和 e2 是多边形的任意 2 个非平行边。

当然，通过投影到 XZ 或 YZ 平面，您可能会获得更好（更准确）的结果。您应该选择法线最接近您平面的法线。

Answer 6

我不知道如何优化这种方法（我之前没有在代码中完成过），但是从数学上讲它的方法是将你的形状分成三角形，然后很容易计算和求和它的面积。 （请记住：三角形的面积是宽度 * 高度 * 0.5 - 您需要计算非直角三角形的高度。）

在 3D 中做这些事情通常意味着在每个阶段都需要进行更多的计算。 例如，在 2D 中，2 个点之间的距离（形状的一边的长度）的计算方式如下（伪代码，因为我在这台机器上没有 VS）：

double DistanceBetween(Point a, Point b)
{
   double dx = a.x - b.x;
   double dy = a.y - b.y;
   return SquareRoot(dx*dx + dy*dy);
}

在三个维度上变成：

double DistanceBetween(Point3d a, Point3d b)
{
   double dx = a.x - b.x;
   double dy = a.y - b.y;
   double dz = a.z - b.z;
   return SquareRoot(dx*dx + dy*dy + dz*dz);
}

将一个形状分割成任意三角形只需要一次选择任意三个相邻的顶点，直到最后三个顶点。

Answer 7

另一个不需要您创建多边形网格的解决方案是围绕周边进行轮廓积分。 您使用格林定理将面积积分转换为等高线积分，然后使用高斯求积之类的简单方法对每个贡献进行积分和求和。 你必须有周长的定义。

此过程也适用于有孔的 2D 形状。 您只需要定义一个从外周边延伸到孔的切口，围绕孔进行积分，然后再返回到周边。