組合：嘗試計算算法（關於子集）

Question

我正在嘗試解決TopCoder上的問題。 基本上我需要的是以下算法：

令S = [1,2，...，n]為序列。 令m小於n。

1）找到大小為m的S的所有子序列（這很容易-n ^ m）。

2）找到大小為m的S的所有子序列，其中元素按降序排列。

3）找到大小為m的S的所有子序列，其中不允許重復元素（這也很容易-（n！）/（（nm）！）。

4）找到大小為m的S的所有子序列，這些元素的順序為非遞減且不允許重復。

仍在嘗試尋找第2部分和第4部分的公式。將提供一點幫助。

提前致謝。

編輯：

原始問題：

https://docs.google.com/document/d/1X1VK8Vq2DlqMbZpXHGLoWv9ULfRLVoLtMTRRU5nh5qs/edit?usp=sharing

Answer 1

解決4），請注意，不重復“不減少”表示“增加”。 將由S構建的長度為m的所有長度序列的集合划分為沒有重復元素的等價類，該等價類由子序列中出現的元素集合定義。 在每個等價類中，只有一個遞增的序列（元素按<排序）。 每個等價類的大小是元素的排列數量。 因此4）序列的數量為(n!)/((nm)! * m!) = n \\choose m 。

ad 2），將序列建模為S所有元素的出現次數序列（包括0表示不包含在內）。 這可以寫成成對的序列(s_i, k_i), i=1..n; s_i \\in S, k_i \\in IN, \\foreach p,q in {1..n}, p!=q: s_p != s_q (s_i, k_i), i=1..n; s_i \\in S, k_i \\in IN, \\foreach p,q in {1..n}, p!=q: s_p != s_q長度為n (s_i, k_i), i=1..n; s_i \\in S, k_i \\in IN, \\foreach p,q in {1..n}, p!=q: s_p != s_q 。 “不減少”表示通過根據增加s_i排列元素而給出的序列的唯一允許排序。 因此，唯一的自由度是必須遵守求和為m的約束的出現次數： sum_{i=1..n} k_i = m 。

此問題等效於具有（特定）限制並計算晶格路徑的分區。 我不認為滿足這種條件的IN^n的n元組的數量沒有封閉的公式。

但是，有一種標准算法可以枚舉所有可能性，例如。 這里