组合：尝试计算算法（关于子集）

Question

我正在尝试解决TopCoder上的问题。 基本上我需要的是以下算法：

令S = [1,2，...，n]为序列。 令m小于n。

1）找到大小为m的S的所有子序列（这很容易-n ^ m）。

2）找到大小为m的S的所有子序列，其中元素按降序排列。

3）找到大小为m的S的所有子序列，其中不允许重复元素（这也很容易-（n！）/（（nm）！）。

4）找到大小为m的S的所有子序列，这些元素的顺序为非递减且不允许重复。

仍在尝试寻找第2部分和第4部分的公式。将提供一点帮助。

提前致谢。

编辑：

原始问题：

https://docs.google.com/document/d/1X1VK8Vq2DlqMbZpXHGLoWv9ULfRLVoLtMTRRU5nh5qs/edit?usp=sharing

Answer 1

解决4），请注意，不重复“不减少”表示“增加”。 将由S构建的长度为m的所有长度序列的集合划分为没有重复元素的等价类，该等价类由子序列中出现的元素集合定义。 在每个等价类中，只有一个递增的序列（元素按<排序）。 每个等价类的大小是元素的排列数量。 因此4）序列的数量为(n!)/((nm)! * m!) = n \\choose m 。

ad 2），将序列建模为S所有元素的出现次数序列（包括0表示不包含在内）。 这可以写成成对的序列(s_i, k_i), i=1..n; s_i \\in S, k_i \\in IN, \\foreach p,q in {1..n}, p!=q: s_p != s_q (s_i, k_i), i=1..n; s_i \\in S, k_i \\in IN, \\foreach p,q in {1..n}, p!=q: s_p != s_q长度为n (s_i, k_i), i=1..n; s_i \\in S, k_i \\in IN, \\foreach p,q in {1..n}, p!=q: s_p != s_q 。 “不减少”表示通过根据增加s_i排列元素而给出的序列的唯一允许排序。 因此，唯一的自由度是必须遵守求和为m的约束的出现次数： sum_{i=1..n} k_i = m 。

此问题等效于具有（特定）限制并计算晶格路径的分区。 我不认为满足这种条件的IN^n的n元组的数量没有封闭的公式。

但是，有一种标准算法可以枚举所有可能性，例如。 这里