Python中的對角矩陣指數

Question

我正在編寫一個考慮速度的數值算法。 我在scipy / numpy（scipy.linalg.expm2，scipy.linalg.expm）中遇到了兩個矩陣指數函數。 但是我有一個矩陣，我知道它是預先對角的。 這些scipy函數是否在運行之前檢查矩陣是否是對角線？ 顯然，對於對角矩陣，求冪算法可以快得多，我只是想確保它們正在做一些聰明的東西 - 如果它們不是，那么有一種簡單的方法嗎？

Answer 1

如果矩陣是對角線，則可以通過對主對角線上的每個條目取冪來獲得其指數，因此您可以通過以下方式計算：

np.diag(np.exp(np.diag(a)))

Answer 2

如果你知道A是對角線而你想要k次冪：

def dpow(a, k):
    return np.diag(np.diag(a) ** k)

檢查矩陣是否是對角線：

def isdiag(a):
    return np.all(a == np.diag(np.diag(a)))

所以：

def pow(a, k):
    if isdiag(a):
        return dpow(a, k)
    else:
        return np.asmatrix(a) ** k

類似地，對於指數（你可以通過擴展一套pow來數學獲得），你可以做到：

def dexp(a, k):
    return np.diag(np.exp(np.diag(a)))

def exp(a, k):
    if isdiag(a):
        return dexp(a, k)
    else:
        #use scipy.linalg.expm2 or whatever

Answer 3

我開發了一個工具，可以幫助更快地像HYRY一樣做，但是通過就地做到這一點：

def diagonal(array):
    """ Return a **view** of the diagonal elements of 'array' """
    from numpy.lib.stride_tricks import as_strided
    return as_strided(array,shape=(min(array.shape),),strides=(sum(array.strides),))

# generate a random diagonal array
d  = np.diag(np.random.random(4000))

# in-place exponent of the diagonal elements
ddiag = diagonal(d)
ddiag[:] = np.exp(ddiag)

# timeit comparison with HYRY's method
%timeit -n10 np.diag(np.exp(np.diag(d)))   
    # out> 10 loops, best of 3: 52.1 ms per loop
%timeit -n10 ddiag = diagonal(d); ddiag[:] = np.exp(ddiag)
    # out> 10 loops, best of 3: 108 µs per loop

現在，

• HYRY的方法是對角線長度的二次方（可能是因為新的數組內存分配），所以如果你的矩陣的維度很小，差異可能不會那么大。

• 你需要在原地計算中做好

• 最后，非對角元素為0，因此它們的指數應為1，不應該嗎？ 在我們的方法中，非對角線都是0。

對於最后一部分，如果您希望所有非對角元素為1，那么您可以：

d2 = np.ones_like(d); 
diagonal(d2)[:] = np.exp(np.diag(d))

print (d2==np.exp(d)).all()  # True

但這對於數組大小是線性的，因此對角線長度是二次方的。 對於4000x4000陣列，時間給出~90ms，對於2000x2000，給出22.3ms。

最后，你也可以在原地進行加速：

diag = np.diag(d)
d[:]=1
diagonal(d)[:] = np.exp(diag)

Timeit為4000 ^ 2陣列提供66.1ms，為2000 ^ 2提供16.8ms