Coq中的坐標

Question

如果這顯然是張貼在某處，我深表歉意，但是我一直在嘗試Google搜索和SO搜索，但尚未找到任何內容。

A部分

是否存在用於定義Coq中R ^ 2和R ^ 3中的坐標/向量和點的標准庫？ 我非常想做一些標准的事情，例如添加向量，叉積，縮放等。

如果沒有，那么這是如何開始的：

Require Import Coq.Reals.Reals.

Inductive Coordinate2 : Type := Point2: R -> R -> Coordinate2.

Definition R2plus (u:Coordinate2) (v:Coordinate2) : Coordinate2 :=
match u, v with
 | (Point2 ux uy),(Point2 vx vy)=>(Point2 ((ux+vx)%R) ((uy+vy)%R))
end.  

(* etc. *)

Notation "x + y" := (R2plus x y).

另外，為什么當我跑步：

Eval compute in ((2%R) < (3%R))%R.

我懂嗎

= (2 < 3)%R
: Prop

而不是

 True

或者其他的東西？

B部分

這是個好主意嗎？ 我想建立一種使用實數計算某些事物的算法，並證明該算法在Coq中是正確的。 Coq.Reals.Reals是正確使用的東西，還是真的太抽象？

Answer 1

除了定義Coordinate2還可以使用(R * R)%type ， list R或t R 2 ，其中在Vector定義的t A n是大小為n的列表。

您可能需要為符號指定范圍和定界鍵，以免與其他符號沖突。

Notation "x + y" := (R2plus x y) : r2_scope.
Delimit Scope r2_scope with R2.
Eval compute in ((Point2 0 1) + (Point2 2 3))%R2.

Prop ， Set和Type是排序，這意味着可以歸納地定義Prop類型的東西。

例如，對於nat ， le定義為

Inductive le : nat -> nat -> Prop :=
  | le_n : forall n, le n n
  | le_S : forall n m : nat, le n m -> le n (S m).

• 2 <= 2是正確的，因為它被le_n 2居住
• 2 <= 3是正確的，因為它被le_S 2 2 (le_n 2)
• 2 <= 4是正確的，因為它被le_S 2 3 (le_S 2 2 (le_n 2))居住le_S 2 3 (le_S 2 2 (le_n 2))
• 3 <= 2為假，因為沒有人居住

為了使2 <= 3減少為True ，必須定義le ，例如，

Fixpoint le (n m : nat) : Prop :=
  match n with
  | 0 => True
  | S n =>
    match m with
    | 0 => False
    | S m => le n m
    end
  end.

Coq對Rplus和Rlt的定義實際上是公理。 要檢查某物的定義，請使用“ Print命令。

要回答B部分，我想這取決於您對數學分析的理解程度以及定義實數的各種方式。 如果您更熟悉數值方法，則可能需要使用有理數。