->在Coq中的傳遞性

Question

我試圖證明Coq命題中->的可傳遞性：

Theorem implies_trans : forall P Q R : Prop,
  (P -> Q) -> (Q -> R) -> (P -> R).
Proof.

我想破壞所有主張，並以反思性來處理所有8種可能性 。 顯然不是那么簡單。 這是我嘗試過的：

Theorem implies_trans : forall P Q R : Prop,
  (P -> Q) -> (Q -> R) -> (P -> R).
Proof.
  intros P Q R H1 H2.
  destruct P. (** Hmmm ... this doesn't work *)
Admitted.

這就是我得到的：

1 subgoal
P, Q, R : Prop
H1 : P -> Q
H2 : Q -> R
______________________________________(1/1)
P -> R

隨后出現此錯誤：

Error: Not an inductive product.

非常感謝任何幫助，謝謝！

Answer 1

Coq的邏輯不是命題是對還是錯的經典邏輯。 相反，它基於類型理論，默認情況下具有直覺風格。 ¹在類型理論中，您應該認為P -> Q是從“ P型事物”到“ Q型事物”的函數。 ²

證明P -> Q型P -> Q型目標的通常方式是使用intro或intros介紹P型假設，然后使用該假設以某種方式產生Q型元素。

例如，我們可以證明(P -> Q -> R) -> (Q -> P -> R) 。 在“蘊涵是一個函數”的解釋中，這可以理解為，如果我們有一個接受P和Q並產生R的函數，那么我們可以定義一個接受Q和P並產生R的函數。 這是相同的功能，但參數已交換。

Definition ArgSwap_1 {P Q R: Prop}: (P -> Q -> R) -> (Q -> P -> R) :=
  fun f q p => f p q.

使用策略，我們可以看到各個元素的類型。

Lemma ArgSwap_2 {P Q R: Prop}: (P -> Q -> R) -> (Q -> P -> R).
Proof.
  intro f.
  intros q p.
  exact (f p q).
Qed.

在intro ，我們看到f: P -> Q -> R ，所以f是我們的函數，它接受P s和Q s並產生R s。 在intros （介紹了多個術語）之后，我們看到q: Q和p: P 。 最后一行（在Qed.之前）僅將函數f應用於p和q以在R得到某些值。

對於您的問題， intros介紹了命題P ， Q和R ，以及H1: P -> Q和H2: Q -> R 不過，我們仍然可以引入類型P另一項，因為目標是P -> R 您能看到如何使用H1和H2以及P的元素來產生R的元素嗎？ 提示：您將經歷Q 另外，請記住， H1和H2是函數。

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¹您可以將排除中間定律作為公理添加，這將允許您進行所需的案例分析，但是我認為這沒有Coq的意義。

²如果您想知道， Prop的元素仍然是類型，並且行為與Set或Type元素非常相似。 唯一的區別是Prop是“命令性的”，它使命題可以量化所有命題。 例如，對於forall P: Prop, P -> P是Prop的元素，但是對於forall A: Type, A -> A是Type的下一個級別的元素（ Type實際上是無限層次結構）。