C＃/ Unity3D中的分段線性整數曲線插值

Question

是否有一種簡單有效的方法在C＃中實現分段線性整數到整數曲線插值（對於Unity3D，如果重要的話）？
詳細信息如下：

• 分段線性曲線表示必須隨時間建立。 第一個插值請求在我們擁有所有數據點之前
• 曲線嚴格單調
• 第一點始終是（0，0）
• 數據點的第一坐標也是嚴格單調的到達時間，即，這些點自然按照其第一坐標排序。
• 數據點不在可能導致4字節整數溢出問題的范圍內
• 輸出不必一定是100％准確的，因此舍入誤差不是問題。

在C ++中，我將執行以下操作：

#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cassert>

using namespace std;

typedef pair<int, int> tDataPoint;
typedef vector<tDataPoint> tPLC;

void appendData(tPLC& curve, const tDataPoint& point) {
  assert(curve.empty() || curve.back().first < point.first);
  curve.push_back(point);
}

int interpolate(const tPLC& curve, int cursor) {
  assert(!curve.empty());
  int result = 0;  
  // below zero, the value is a constant 0
  if (cursor > 0) {
    // find the first data point above the cursor
    const auto upper = upper_bound(begin(curve), end(curve), cursor);
    // above the last data point, the value is a constant 0
    if (upper == end(curve)) {
      result = curve.back().second;
    } else {
      // get the point below or equal to the cursor
      const auto lower = upper - 1;
      // lerp between
      float linear = float((cursor - lower.first) * (upper.second - lower.second)) / (upper.first - lower.first);
      result = lower.second + int(linear);
    }
  }
  return result;
}

我可以看到如何在C＃中執行類似的工作，但沒有任何簡潔或有效的方法。 任何幫助將不勝感激。

編輯：我不需要更加准確，並且對分段線性插值非常滿意，因此更好的插值質量不是我的問題。
我正在尋找的是一種高效，簡潔的方法。 高效，我的意思是：依靠數據點自然排序的事實，以便能夠使用二進制搜索找到正確的段

Answer 1

我將使用以下插值三次方：

x=a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t
y=b0+b1*t+b2*t*t+b3*t*t*t

其中a0..a3的計算方式如下：

d1=0.5*(p2.x-p0.x);
d2=0.5*(p3.x-p1.x);
a0=p1.x;
a1=d1;
a2=(3.0*(p2.x-p1.x))-(2.0*d1)-d2;
a3=d1+d2+(2.0*(-p2.x+p1.x));

b0 .. b3的計算方法相同，但是當然使用y坐標
p0..p3是三次插值曲線的控制點
t = < 0.0 , 1.0 >是從p1到p2曲線參數

這樣可以確保位置和一階導數是連續的（c1）。 如果要在整數數學上執行此操作，則只需相應地縮放ai,bi ant t 。 您也可以按照需要添加任意多個尺寸

現在，您需要一些參數來遍歷插值點，例如u = <0 , N-1>

p(0..N-1)是您的控制點列表
u = 0表示起點p(0)
u = N-1表示終點p(N-1)
P0..P3是用於插補的控制點

因此，您需要計算t並選擇用於插值的點

    double t=u-floor(u); // fractional part between control points
    int i=floor(u);       // integer part points to starting control point used
         if (i<1)     { P0=p(  0),P1=p(  0),P2=p(  1),P3=p(  2); }               // handle start edge case
    else if (i==N-1) { P0=p(N-2),P1=p(N-1),P2=p(N-1),P3=p(N-1); }  // handle end edge case
    else if (i>=N-2) { P0=p(N-3),P1=p(N-2),P2=p(N-1),P3=p(N-1); }  // handle end edge case
    else              { P0=p(i-1),P1=p(i  ),P2=p(i+1),P3=p(i+2); }

    (x,y) = interpolation (P0,P1,P2,P3,t);

如果要在整數數學上執行此操作，則只需相應地縮放u,t 。 如果N<3則使用線性插值...或重復終點，直到N>=3

[edit1]線性插值方法

struct pnt { int x,y; };

pnt interpolate (pnt *p,int N,int x)
    {
    int i,j;
    pnt p;
    for (j=1,i=N-1;j<i;j<<=1); j>>=1; if (!j) j=1; // this just determine max mask for binary search ... can do it on p[] size change
    for (i=0;j;j>>=1) // binary search by x coordinate output is i as point index with  p[i].x<=x
        {
        i|=j;
        if (i>=N) { i-=j; continue; }
        if (p[i].x==x) break;
        if (p[i].x> x) i-=j;
        }
    p.x=x;
    p.y=p[i].y+((p[i+1].y-p[i].y)*(x-p[i].x)/(p[i+1].x-p[i].x))
    return p;
    }

添加邊緣情況處理，例如x超出點邊界或點列表太小