如何證明樹上頂點覆蓋的貪婪算法的正確性？

Question

樹上的頂點覆蓋問題如下。

輸入：一個無環簡單無向圖G
輸出：一組頂點W，對於每個uv邊，u∈W或v∈W。我們希望最小化W的大小。

我的貪婪算法是初始化W =∅，然后，當G不為空時，重復以下步驟。 令L為G的葉頂點。令N（L）為與L中某個頂點相鄰的頂點集。更新W = W∪N（L）。 從G刪除頂點L∪N（L）及其入射邊。

到目前為止，我在所有情況下都可以使用該算法。 我如何證明它正確？ 到目前為止，這就是我所擁有的。

假設還有另一個集合S是最優解。 矛盾的是，我想確定要么S不能覆蓋所有邊緣，要么S與我的貪婪算法產生的集合相同。

Answer 1

這是一個合理的開始，但是我看到兩個問題。 首先，最佳解決方案可能不是唯一的。 考慮具有四個最佳解的四頂點路徑abcd ： {a,c}, {b,c}, {b,d} 。 其次（您可能已經在這樣做了，但是您沒有這么說），有必要考慮將樹植根。 否則，例如在圖ab上，我們有L = {a,b}和N(L) = {b,a} ，並且產生的頂點覆蓋率是W = {b,a} ，這不是最佳的。 通過將a指定為根，從定義上將其排除在葉子集中。

為了正式證明涉及循環的程序的正確性，通常最好使用歸納法來建立循環不變式。 請允許我提出兩個建議。

1. 對於所有時間t（時間=循環迭代次數），令G（t）為時間t時G的剩余量，令W（t）為時間t時W的值。 對於G（t）的每個頂點覆蓋X，集合W（t）∪X是G（0）的頂點覆蓋，其中0是開始時間。

2. 對於所有時間t，都存在一個包含W（t）作為子集的最優解。

設T為結束時間。 由於G（T）是空圖，所以X =∅是G（T）的有效頂點覆蓋，因此不變量1確定W（T）是G（0）的頂點覆蓋。 不變量2確定W（T）包含在某個最優解中。 由於W（T）本身是一個頂點覆蓋，因此W（T）本身必須是該最優解。

給定不變式2的歸納步驟是，給定一個包含W（t-1）但不包含W（t）的最優解，將其推算為另一個包含W（t）的最優解。 這涉及正式化您的直覺，即將葉子的鄰居帶到葉子上至少總是同樣有效。