如何證明以下算法的正確性？

Question

一家家具店正在銷售：以較昂貴的價格購買兩件。 約翰剛搬到新家，沖進商店，選擇了2k家具：f1，f2，...，f2k-1，f2k。 這些項目分別定價為p1，p2，...，p2k-1，p2k。 幫助約翰成對布置家具，以使2k件物品的總成本降至最低。 建議在O（klogk）中運行的算法，證明其正確性和運行時間。

好的，這聽起來並不復雜：首先，我將按價格對所有2k家具進行排序，然后將每個單元格與其相鄰的單元格一對，取O（klogk）。

我如何證明我建議的正確性？ 我想過要假設有更多的最小解決方案並引起矛盾，但我不知道如何證明這一點。 tnx很多！

Answer 1

您要購買所有2k家具，因此每件家具都是一對。 現在，讓我們按價格降序考慮零件。 最昂貴的一塊將需要成對出現，並且由於最昂貴，它將比成對的另一塊更昂貴。 因此，您可以免費購買任何家具。 讓我們假設最佳解決方案將最昂貴的商品與價格X組合在一起，並進一步假設該商品不是價格第二的商品（我們將其表示為第二價格S）。 現在，S將成對出現，並且這對貨幣的價格不可能高於S的價格。現在，如果我們更改S和X的位置，那么所有貨幣對的價格都將變為X，而X曾經是而S過去的那個將保持不變。 由於S現在是具有最昂貴元素的組，因此這對的價格也保持不變。 至於X現在所在的那對-它不可能增加，因為那將意味着X比S更昂貴，這是矛盾的。

因此，新的解決方案也是最佳的，因此始終存在一種解決方案，其中將最昂貴的元素與倒數第二個元素組合在一起。 現在，您可以使用歸納法來證明您的方法的正確性。