我如何證明以下算法？

Question

 Exp(n) If n = 0 Return 1 End If If n%2==0 temp = Exp(n/2) Return temp × temp Else //n is odd temp = Exp((n−1)/2) Return temp × temp × 2 End if

我如何通過 n 中的強歸納證明對於所有 n ≥ 1，Exp (n) 進行的乘法次數≤ 2 log2 n。

ps：Exp(n) = 2^n

Answer 1

一個簡單的方法是使用強歸納法。

• 首先，證明Exp(0)終止並返回2^0 。

• 設 N 是某個任意的偶數非負數。

• 假設函數Exp正確計算並為 [0, N] 中的每個n返回2^n 。

• 在此假設下，證明Exp(N+1)和Exp(N+2)都終止並正確返回2^(N+1)和2^(N+2) 。

你完成了！ 通過歸納，對於任何非負N ， Exp(N)正確返回2^N 。

PS：請注意，在這篇文章中， 2^N表示“2 的 N 次方”，而不是“2 和 N 的二進制表示的按位異或”。

Answer 2

該程序完全適用以下重復：

P[0] = 1
n even -> P[n] -> P[n/2]²
n odd  -> P[n] -> P[(n-1)/2]².2

1. 程序總是終止，因為對於n>0 ， n/2和(n-1)/2 < n並且遞歸調用的參數總是減少。

2. P[n] = 2^n是遞歸的解。 的確，

• n = 0 -> 2^0 = 1
• n = 2m -> 2^n = (2^m)²
• n = 2m+1 -> 2^n = 2.(2^n)²

這涵蓋了所有情況。

由於每次調用都會將n的有效位數減一並執行一兩次乘法，因此總數不會超過有效位數的兩倍。