我們如何證明算法的運行時限是緊的？

Question

假設我們可以證明用大小為n的輸入調用的算法在時間O(f(n)) 。

我想證明這個運行時限很緊。 兩個問題：

1. 提供特殊輸入並顯示運行時間至少為f(n)是否足夠？
2. 我已經讀過，證明緊張的一種可能性是“減少排序”。 我不知道那是什么意思

Answer 1

提供特殊輸入並顯示運行時間至少為f（n）是否足夠？

是的，假設你在談論最壞情況的復雜性 。
如果你在談論最壞情況的復雜性 - 並且你已經證明它在O(f(n)) ，如果你找到一個比C*f(n)) “更差”的輸入對於某個常數C - 你有效地證明了該算法（在最差情況下性能）是Ω(f(n)) ，並且因為O(f(n)) [intersection] Ω(f(n)) = Theta(f(n)) ，這意味着你的在最壞情況分析下，算法在Theta(f(n))運行。
請注意 ，它實際上應該是一個“家庭”的例子，因為如果我聲稱“是的，但這只適用於小n值，而不是n>N （對於某些N ），你可以告訴我這個系列示例還涵蓋了n>N的情況，並且仍然有效。

對稱地，如果你證明一個算法具有Ω(f(n))最佳案例性能，並且你發現某些輸入比某些常數C “更好”（更快）地運行C*f(n))對於某些常數C ，你有效地證明了在最佳案例分析下，算法是Theta(f(n)) 。

這個技巧不適用於平均案例分析 - 你應該計算運行時的預期，而單個例子沒有幫助。

我已經讀過，證明緊張的一種可能性是“減少排序”。 我不知道那是什么意思

這樣做是為了證明一個更強大的主張，即沒有算法（根本沒有）可以在所需的時間解決某些問題 。
它的常見用法是假設有一些黑盒算法A在某個o(g(n))時間內運行，然后使用A構建一個在o(nlogn)時間內運行的排序算法。 然而，由於排序是Ω(nlogn)問題，我們有一個矛盾，我們可以得出結論關於A假設是錯誤的，並且它不能在期望的時間運行。

這有助於我們證明一個更強大的主張：不僅OUR算法具有此下限，而且解決特定問題的所有算法都具有此下限。

Answer 2

ad 1。：是的，但您必須能夠為任何n找到大小為n的輸入。 以9個步驟處理的大小3的示例實際上沒有任何證據。

ad 2。：如果你可以修改一系列元素，以便你的算法有效地對它進行排序（在輸出一些處理后得到一個排序的序列），你就減少了對它的排序。 並且因為排序（通過比較）不能比O（n log（n））快，所以這可以用來證明你的算法不能比O（n log（n））更快。

當然，輸入和輸出處理函數不能慢於或等於O（n log（n）），以使此參數有效，否則您可以對數組進行排序並證明只返回O（1）算法輸入數組實際上至少是O（n log（n））:)。