查看點是否在直線上（矢量）

Question

我的程序中目前有以下行。 我還有另外兩個整數變量， x和y 。

我想看看這個新點(x, y)是否在這條線上。 我一直在看以下線程：

給定起點和終點以及距離，沿直線計算一個點

我想出了以下幾點：

if(x >= x1 && x <= x2 && (y >= y1 && y <= y2 || y <= y1 && y >= y2))
{
    float vx = x2 - x1;
    float vy = y2 - y1;
    float mag = sqrt(vx*vx + vy*vy);
    // need to get the unit vector (direction)
    float dvx = vx/mag; // this would be the unit vector (direction) x for the line
    float dvy = vy/mag; // this would be the unit vector (direction) y for the line

    float vcx = x - x1;
    float vcy = y - y1;
    float magc = sqrt(vcx*vcx + vcy*vcy);
    // need to get the unit vector (direction)
    float dvcx = vcx/magc; // this would be the unit vector (direction) x for the point
    float dvcy = vcy/magc; // this would be the unit vector (direction) y for the point

    // I was thinking of comparing the direction of the two vectors, if they are the same then the point must lie on the line?
    if(dvcx == dvx && dvcy == dvy)
    {
        // the point is on the line!
    }
}

似乎沒有用，還是這個想法不對勁？

Answer 1

浮點數的精度有限，因此您會從計算中得出舍入誤差，結果在數學上應該相等的值最終會略有不同。

您需要比較一個小的容錯度：

if (std::abs(dvcx-dvx) < tolerance && std::abs(dvcy-dvy) < tolerance)
{
    // the point is (more or less) on the line!
}

困難的部分是選擇那個公差。 如果您不能接受任何錯誤，那么您需要使用除固定精度浮點值之外的其他值-可能是整數，並且重新排列計算以避免除法和其他不精確的運算。

無論如何，您可以更簡單地執行此操作，而無需像平方根這樣的東西。 您想找出兩個向量是否平行； 如果向量乘積為零，或者它們具有相等的切線，則等於。 所以你只需要

if (vx * vcy == vy * vcx)  // might still need a tolerance for floating-point
{
    // the point is on the line!
}

如果您的輸入是整數，足夠小以至於乘法不會溢出，那么根本就不需要浮點運算。

Answer 2

解決此問題的有效方法是使用三角形的有符號區域。 當由點{x1,y1} ， {x2,y2}和{x,y}創建的三角形的有符號區域接近零時，可以認為{x,y}在直線上。 正如其他人提到的那樣，如果使用浮點值，則選擇一個好的公差值是其中的重要部分。

bool isPointOnLine (xy p1, xy p2, xy p3) // returns true if p3 is on line p1, p2
    {
    xy va = p1 - p2;
    xy vb = p3 - p2;
    area = va.x * vb.y - va.y * vb.x;
    if (abs (area) < tolerance)
        return true;
    return false;
    }

這將讓您知道{x,y}位於直線上，但不會確定線段是否包含{x,y} 。 為此，您還需要對照線段的邊界檢查{x,y} 。

Answer 3

首先，您需要計算直線方程。 然后查看該方程式對您擁有的x和y的值是否成立。 要計算您的直線方程，您需要計算出它在y軸上的位置以及其梯度是多少。 該方程的形式為y = mx + c，其中m為梯度，c為“截距”（其中線與y軸交叉）。

Answer 4

對於浮點值，請不要使用==，而應測試微小差異：

if (fabs(dvcx-dvx) < delta && fabs(dvcy-dvy) < delta)

另外，您實際上並不需要單位向量，僅需要切線：

float originalTangent = (y2 - y1) / (x2 - x1);
float newTangent = (y - y1) / (x - x1);
if (fabs(newTangent - originalTangent) < delta) { ... }

（ 增量應為小數，具體取決於您期望的精度。）

Answer 5

鑒於（x，y）實際上是一個要點，這項工作似乎比您要完成的要簡單一些。

您可能首先要檢查一條完美的水平或垂直線。 在那種情況下，您只需檢查x是否落在x1和x2之間（或y在垂直方向上在y1和y2之間）。

否則，您可以在x上使用線性插值，看看它是否為y提供了正確的值（在一些可能的舍入公差范圍內）。 為此，您可以執行以下操作：

slope = (y2-y1)/(x2-x1);
if (abs(slope * (x - x1) - y) < tolerance)
    // (x,y) is on the line
else
    // (x,y) isn't on the line