O（nk）和O（n + k）在時間復雜度上有什么區別？

Question

在算法分析中時間復雜度的大O表示法中，當算法依賴於n和k時，這兩個符號之間的區別是什么。 如果有一個嵌套循環，外循環運行n次，內循環運行k次，請幫助使用符號？

Answer 1

O（NK）：

for( i=0; i<n; i++ ) {
   for( j=0; j<k; j++ )
   {}
}

O（N + K）：

for( i=0; i<n; i++ )
{}

for( j=0; j<k; j++ )
{}

Answer 2

O（n + k）表示n或k中較大的線性生長速率。 假設n更大。 然后

n + k <= n + n = 2n = O(n)

但是，如果n更小，那么

n + k <= k + k = 2k = O(k).

無論n是否更大，它總是如此

n + k = O(n+k)

所以這種符號有助於隱藏這種不確定性。 這種雙變量符號對於圖算法是有用的，使用n表示頂點數， m表示邊數。 您可以編寫一個表達式O（n + m）來表示該算法對於稀疏圖（m = Theta（n））是O（n），但對於更密集的圖（例如，O（n ^ 2）則更慢。 m = Theta（n ^ 2））。

對於第二個問題，它只是簡單的算術。 在外循環的第一次迭代中迭代內循環k次，對於第二次循環迭代k次等，總共k + k + ... + k = n * k個總操作，即O（nk）。

Answer 3

O（nk）表示所需的時間與n * k成正比。 O（n + k）表示所需的時間與n + k成正比。 這正是它的樣子。 在您的問題中，您需要更具體地了解您不理解的內容。

在您的情況下，算法的運行時為O（nk），因為內部循環總共運行n * k次。

Answer 4

應該清楚的是，這些是不同的，例如，如果n = k：

O（NK）= O（NN）= O（N ^ 2）

O（N + K）= O（2N）= O（n）的

Answer 5

假設函數f（n）是O（g（n））意味着存在一些常數q，使得對於n的所有值不小於1， f（n）將不大於qg（n） 。

相反，假設函數f（x，y）是O（g（x，y））意味着存在一些常數q，使得對於x和y的所有值都不小於1， f（x，y）將不大於qg（x，y） 。

如果k是常數，那么上面的兩個值都等於O（n），因為對於k的任何值，對於任何不小於1的n ，如果設置q等於（k + 1） ，那么nk都不是nk對於任何n值不小於1， n + k將超過qn [ie （k + 1）n ]。

如果k和n都是完全獨立的變量，則O（nk）是不可約的; O（n + k）將為O（max（n，k）），因為如果將q設置為等於2，則q（max（n，k））[即2max（n，k）]將大於或等於n + k中為它們是不低於一個n和k的所有的值。