{a*b*c*} 的上下文無關文法 - {a^nb^nc^n | n >=0}

Question

我遇到了這個問題。 我相信它告訴我，不能生成甚至包含 # 個 a 的 b 和 c 的字符串。 這是由於減去了第二組。

來自新形成的 CFG 的好字符串應該是類似 aaabbc 或 abbbcc 之類的東西。

所以我試着把問題分成三個部分......

1. 單一狀態

   a.) S(1) -> aS(1) | a | ^ b.) S(2) -> bS(2) | b | ^ c.) S(3) -> cS(2) | b | ^

2. 兩個國家

   a.) S(4) -> aS(4)b | S(1) | S(2) b.) S(5) -> bS(5)c | S(2) c.) S(6) -> aS(6)c | S(3) | S(1)

3. 帶 AB 狀態的狀態

   a.) S(7) -> S(1) | S(4)S(6) b.) S(8) -> S(2) | S(5)S(6) c.) S(9) -> S(3) | S(6)S(3)

   原始開始狀態為...

    S -> S(7) | S(8) | S(9)

但是我在構建像 aaaabbbcc 這樣的字符串時遇到了問題......

我是否錯誤地形成了 CFG？ 我覺得我在正確的軌道上，但現在我很迷茫。

Answer 1

可以使用給定的產生式構造 a^nb^nc^n 語言的上下文無關語法。

S -> aSc | X
X -> BX
X -> null

使用上面的產生式你可以生成一個^nb^nc^n。 假設我們正在生成 a^2 b^2 c^2。 我們將從 S 開始。

= aSc
= aaScc ; aSc
= aaXcc ; S -> X
= aabXcc ; X -> bX
= aabbXcc ; X -> bX
= aabb(null)cc ; X -> null
= aabbcc

Answer 2

這種語言的一個更簡單的表達是：

{a ⁿ b ^m c ^* | n ≠ m } ∪ {a ^* b ⁿ c ^m | n ≠ m }

（使用上面的Kleene星可能是濫用符號。最初，我用第三個整數變量來寫它。但我認為星更清晰。）

現在，{a ⁿ b ^m | n ≠ m } 只是一個ⁿ (a ⁺ |b ⁺ )b ⁿ

所以完整的表達式可以寫成ⁿ (a ⁺ |b ⁺ )b ⁿ c ^* | a ^* b ⁿ (b ⁺ |c ⁺ )c ⁿ

將所有這些放在一個 CFG 中有點乏味，所以我把它留給了讀者。 但這完全是機械的。

從中制作 DFA（或更恰當地說確定性下推自動機）可能會更棘手，因為 CFG 是模棱兩可的。 事實上，該語言的每個CFG 都是模棱兩可的。 但是制定 NDPA 沒有問題。

Answer 3

所以我把問題分成2個子問題

a 的數量與 b 的數量不同。 因此，a 和 c 或 b 和 c 可以相同。

b 的數量與 c 的數量不同。 因此，a 和 b 或 a 和 c 可以相同。

編輯：更正式的如 Rici {a ⁿ b ^m c ^* | 所述 n ≠ m } ∪ {a ^* b ⁿ c ^m | n ≠ m }

//a and b is different
S-->XR
//b and c is different
S-->DY

//Genarates a string where a is more than b
X--> aXb | A
A --> aA  | a

//Genarates a string where b is more than a
X--> bXa | B
B --> bB  | b

//Genarates a string where b is more than c
Y--> bYc | B
B --> bB  | b

//Genarates a string where c is more than b
Y--> cYb | C
C --> cC  | c

R-->Rc|c|^
D-->Da|a|^

Answer 4

Murdock 上面的答案非常接近，但在某些情況下失敗了。 例如，它可以生成 a、b 和 aabcc，但不能生成 c、abbcc 或 bc，即使它應該能夠生成。 （JFlap 是一個很棒的軟件，我用來在我構建的語法上快速測試不同的字符串，它對形式語言和計算理論中的許多其他概念也很有幫助。）使用 Murdock 的 CFG，字母也可以出現在不同的順序，但問題陳述強制所有 a 先出現，然后是所有 b，最后是 c。

丹麥人艾哈邁德似乎誤解了這個問題，並試圖為 a、b 和 c 的數量相等的語言構建一個 CFG。 我的講師突然說不可能為此構建 CFG。 對於 a = b = c，丹麥語的 CFG 是不正確的，因為它可以通過 S -> X 自行生成一個 'b'； X -> BX; X -> null（還假設大寫 B 是終端 b。）

這是我的答案，它添加並調整了 Murdock 的 CFG 的一些組件，使其對問題有效。

S=XR|DY|WR|DZ
X=aXb|A
A=aA|a
W=aWb|B
B=bB|b
Y=bYc|B
Z=bZc|C
C=cC|c
R=Rc|c|epsilon
D=Da|a|epsilon