numpy.fft.fft如何工作？

Question

我目前正在嘗試從numpy了解fft函數。 為此，我測試了以下假設：
我有兩個函數， f(x) = x^2和g(x) = f'(x) = 2*x 。 根據傅立葉變換定律和Wolfram alpha，它應該是G(w) = 2pi*i*F(w) （預因子可以變化，但是應該只有一個常數）。 在python中實現時，我寫

import numpy as np
def x2(x):
    return x*x
def nx(x):
    return 2*x

a = np.linspace(-3, 3, 16)
a1 = x2(a)
a2 = nx(a)

b1 = np.fft.fft(a1)
b2 = np.fft.fft(a2)

c = b1/b2

現在我期望c值幾乎恆定，但是我得到

array([  1.02081592e+16+0.j        ,   1.32769987e-16-1.0054679j ,
         4.90653893e-17-0.48284271j,  -1.28214041e-16-0.29932115j,
        -1.21430643e-16-0.2j       ,   5.63664751e-16-0.13363573j,
        -5.92271642e-17-0.08284271j,  -4.21346622e-16-0.03978247j,
        -5.55111512e-16-0.j        ,  -5.04781597e-16+0.03978247j,
        -6.29288619e-17+0.08284271j,   8.39500693e-16+0.13363573j,
        -1.21430643e-16+0.2j       ,  -0.00000000e+00+0.29932115j,
        -0.00000000e+00+0.48284271j,   1.32769987e-16+1.0054679j ])

我的錯誤在哪里？如何按預期使用fft？

Answer 1

您提供的屬性將應用於連續傅立葉變換 （CFT）。 FFT計算的是離散傅里葉變換 （DFT），它與CFT有關，但並不完全等效。

的確，在某些條件下DFT與CFT成正比：即，對超出樣本限制的零函數進行足夠的采樣（例如，參見本書的附錄E）。

這兩個條件都不能滿足您上面建議的功能，因此DFT與CFT不成比例，並且您的數值結果反映了這一點。

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以下是一些代碼，可以使用適當的采樣帶寬限制函數通過FFT確認您感興趣的關系：

import numpy as np

def f(x):
    return np.exp(-x ** 2)
def fprime(x):
    return -2 * x * f(x)

a = np.linspace(-10, 10, 100)
a1 = f(a)
a2 = fprime(a)

b1 = np.fft.fft(a1)
b2 = np.fft.fft(a2)
omega = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(len(a), a[1] - a[0])

np.allclose(b1 * 1j * omega, b2)
# True