斐波那契的Big-O帶有記憶嗎？

Question

當我運行該程序時，它看起來像是O（1），因為它幾乎是用於無記名的fib的大量數字。 如果它正在計算先前的數字，那么它要做的就是加法，其結果將是O（1）？

memo = {}
def Fib(n):
    if (n < 2):
        return 1
    if not n in memo:
        memo[n] = Fib(n-1) + Fib(n-2)
    return memo[n]

與沒有備忘錄的斐波那契程序相比，我還給它計時，這是從1到40的繪圖結果：

Answer 1

首先，算法的下限是O(n)僅僅是因為對於給定的n您要用n值填充字典（假設我們正在處理對Fib第一次調用）。

另一方面，對於每個n您在Fib函數中執行的每個操作均攤銷O(1) 。 因此，總的來說，您第一次致電 Fib將攤銷O(n) 。

請注意，對於較大的n此值可能會高於O(n)因為not in運行時不是O(1) （僅攤銷O(1) ）。 n必須是多少？ 不知道，取決於底層的哈希函數。 另外，在達到n之前，您可能會耗盡內存。

現在，這顯然是以空間（即內存）為代價的，它也變為O(n) 。 而且這僅是在每個整數都占用相同數量的空間的前提下進行的，不幸的是，對於Python而言，這是不正確的。 “不限制整數”方法的結果是，大整數作為數字數組保留在內存中。 由於數字n最多具有log_b(n)+1數字（其中b是數字系統，例如10為十進制系統，因此我不確定哪個Python內部使用），我們得出實際空間復雜度在O(n)之間和O(log_b(n!))

如果我們不在乎是不是第一次打電話，事情就會變得更加復雜。 但是只有一點。 您通常可以輕松地檢查出Fib是O(max(nk, 1))復雜度，其中k是調用時memo字典的大小。

將其與例如迭代方法進行比較。 在這種方法中，您始終要保留2個最后一個元素和一個計數器。 這樣，您將獲得O(n)時間復雜度和O(1)空間復雜度。

當然，對於朴素的遞歸斐波那契，時間復雜度為O(2^n) ，空間復雜度為O(n) （由於調用堆棧）。

Answer 2

我的感覺是它仍然是O（n），假設您計算Fin（100），則需要在計算100前計算所有數字。確定是否已完成前一次運行，那么您會將其存儲在內存中，但是對於您可以想象並已執行上一個執行的任何數字，我可以想象一個更大的數字:)

也許您可以說它是O（1）攤銷的（與Java中的ArrayList獲得元素的O（1）一樣……實際上是O（n），因為您可能需要調整數組的大小，但是通常情況並非如此，因此O（1）是“可接受的”量度）。