具有“固定尺寸”的計算復雜性

Question

閱讀科學論文后：

該算法的計算復雜度為O(N^d) ，其中N為數據數， d為維。 因此，對於固定維數，算法復雜度是多項式。

現在，這使我想到（如果我沒有記錯的話），在二進制輸入的數量中定義了big-O表示法。 因此，如果我確定數據的維數，則很自然可以得出多項式解。 此外，如果我還要固定N ，即輸入的數量，我將得出O(1)解決方案，請參見相關文章： 輸入的算法復雜度是固定大小的

我的問題是，如果您認為這是多項式復雜度的有效論點？ 真的可以確定一個維度和輸入數據並聲稱多項式復雜度嗎？

Answer 1

作為大學時代的快速回憶。 大O符號僅僅是一個上限的你的算法是如何執行。 在數學上，f（x）為O（g（x））意味着存在常數k> 0和x0使得

對於所有x> x0，f（x）<= kg（x）

要回答您的問題，您不能修復N，它是自變量。 如果您將N固定為<100，則根據定義，我們肯定可以到達O（1）。 我們可以設置一個大的K來確保所有x（<100）的f（N）<= kG（N）

Answer 2

是的，這樣做是合理的。

這確實取決於最初的問題，但是在大多數情況下，我會說固定尺寸的數目是合理的。 我希望本文聲稱“實用的多項式復雜性”之類的東西，或者提出一些理由來解釋為什么限制d是合理的。

您可以將其與復雜度為O（d ^ N）的解決方案進行比較，其中固定維數並不意味着該解決方案是多項式。 因此，當d較小時，提出的那個顯然更好。

Answer 3

這僅適用於某些算法。 我不清楚在某些情況下“尺寸”應該是什么。

例如，SubSetSum是NP完全的，因此沒有已知具有多項式復雜度的算法。 但是輸入只是N個數字。 您也可以將其視為N個位數的位長d。 但是該算法仍然具有多項式復雜度。

晶格的最短向量問題（SVP）也是如此。 輸入是一個N x N基（用整數條目說），您正在尋找最短的非零向量。 這也是一個難題，目前尚不知道具有多項式復雜度的算法。

Answer 4

對於許多問題，不僅僅是使問題變得困難的輸入數據的大小，還在於該數據的某些屬性或參數。 例如，許多圖問題的復雜度分別由節點和邊的數量給出。

有時，此參數之間的差異可能會很大，例如，如果您有類似O（n ^ d）的信息，則當n增大時，復雜度只是多項式，而當d增大時，則呈指數級。

如果現在碰巧有一個應用程序，您知道像維度這樣的參數值始終是相同的，或者存在一個（較小的）最大值，那么將該參數視為固定值可以為您提供有用的信息。 因此，此類陳述在科學論文中非常普遍。

但是，您不能只修復任何參數，例如您的內存是有限的，因此數據的排序是固定時間的，因為該參數的范圍太大，以至於將其視為固定值都無法提供任何有用的見解。

因此，固定所有參數通常不是一種選擇，因為必須在一個方面改變數據大小。 如果您的復雜性增長非常緩慢，則可以選擇。

例如，如果常數也非常小，則具有O（log n）運算的數據結構有時被認為具有有效的常數復雜性。 或數據結構為聯合查找結構，其中操作的攤余復雜度為O（α（n）），其中α是Ackermann函數的逆函數，該函數增長得如此緩慢，以至於不可能超過10大小n任何可以想象的硬件都可以處理。