coq：消除forall量詞

Question

我想證明以下定理：

Theorem Frobenius (A: Set) (q: Prop) (p: A -> Prop) :
  (q \/ forall x : A, p x) -> (forall x : A, q \/ p x).

我已經得到了以下證明：

Proof.
intro.
intro.
destruct H.
left.
assumption.

但現在我處於一種我不知道該怎么辦的情況。 我可以使用以下東西：

A : Set
q : Prop
p : A -> Prop
H : forall x : A, p x
x : A

我想證明以下子目標：

q \/ p x

如何在給定的前提下消除forall量詞

forall x : A, p x

那就是：我如何插入我的具體x：A以便我可以演繹：px？

Answer 1

您可以使用specialize （ specialize (H x) ）在H實例化通用量化的x 。

Answer 2

可能是最簡單的？

Theorem Frobenius (A: Set) (q: Prop) (p: A -> Prop) :
  (q \/ forall x : A, p x) -> (forall x : A, q \/ p x).
intro H.

elim H.
intros Hl x.
left.
exact Hl.

intros Hr x.
right.
apply Hr.