求加權有向圖中權重最低的路徑權重的算法

Question

我得到一個 G=(V,E) 有向圖，它的所有邊的權重都是“0”或“1”。

我在圖中給出了一個名為“A”的頂點，對於 V 中的每個 v，我需要找到從 A 到 v 的路徑的權重，該路徑在 O(V+E) 時間內具有最低權重。 我必須只使用 BFS 或 DFS（盡管這可能是 BFS 問題）。

我雖然想制作一個新圖，其中它們之間的邊為 0 的頂點被合並，然后在其上運行 BFS，但這會破壞圖的方向（如果圖是無向圖或權重為 {2,1，這將起作用並且對於 2 的邊緣，我將創建一個新頂點）。

我將不勝感激任何幫助。

謝謝

Answer 1

我認為可以通過 DFS 和 BFS 的組合來完成。

在未加權圖的原始 BFS 中，我們有一個不變式，即未探索的節點的距離與探索的節點的距離更大或相等。

在我們的 BFS 中，對於每個節點，我們首先通過所有 0 加權邊進行 DFS，標記距離，並將其標記為已探索。 然后我們可以繼續我們 BFS 中的其他節點。

Array Seen[] = false
Empty queue Q
E' = {(a, b) | (a, b) = 0 and (a, b) is of E}

DFS(V, E', u)
    for each v is adjacent to u in E' // (u, v) has an edge weighted 0
        if Seen[v] = false
            v.dist = u.dist
            DFS(V, E', v)
    Seen[u] = true
    Enqueue(Q, u)

BFS(V, E, source)
    Enqueue(Q, source)
    source.dist = 0
    DFS(V, E', source)
    while (Q is not empty)
        u = Dequeue(Q)
        for each v is adjacent to u in E
            if Seen[v] = false
                v.dist = u.dist + 1
                Enqueue(Q, v)
        Seen[u] = true

運行 BFS 后，它可以為您提供與節點源的最短距離。 如果您只想要到單個節點的最短距離，只需在看到目標節點時終止即可。 是的，它滿足 O(V+E) 時間復雜度的要求。

Answer 2

這個問題可以修改為Single Source Shortest Path的問題。

您只需要反轉所有邊緣方向並找到每個頂點 v 與頂點 A 的最小距離。

可以很容易地觀察到，如果在初始圖中，如果我們有從某個頂點 v 到 A 的最小路徑，在改變邊方向后，我們將有相同的從 A 到 v 的最小路徑。

這可以通過Dijkstra或因為邊緣只有兩個值 {0 和 1} 來完成，也可以通過修改的 BFS 完成（首先轉到距離為 0 的頂點，然后是 1，然后是 2 等等。）。