給定加權無向圖，如何找到總權重接近給定值的路徑？

Question

假設我有一個加權的無向圖。 每條邊都有一個正權重。 我想找到一條從給定源節點（s）到目標節點（t）的簡單路徑（路徑中沒有出現兩次頂點），其權重總和接近給定值（P）。

盡管這聽起來像是一個經過充分研究的問題，但我找不到令人滿意的解決方案。 許多圖算法旨在找到最短路徑（在步驟或成本的意義上），而不是找到“匹配”的成本路徑。

一個簡單的解決方案是找到從 s 到 t 的所有路徑，計算每條路徑的權重總和並選擇接近 P 的路徑。但是，已知在圖中找到兩個節點之間的所有路徑是#P-hard。

一種可能的解決方案可以修改 A* 算法，以便對於邊界中的每個節點，我們得到從根到該節點的成本 (g)，並估計從該節點到目標的成本 (h)。 然后，我們不選擇具有最小 g+h 的節點，而是選擇具有最小 |P - (g+h)| 的節點。 但是，我不確定這是否是最佳解決方案。

另一個想法來自線性規划，因為這個問題的目標函數是總和（從 s 到 t 的路徑的權重） - P = 0。我知道最短路徑問題可以形成為線性規划任務，但不確定如何將這個問題表述為一個問題。

請幫忙，提前謝謝！

Answer 1

這個問題是 NP 難的，通過簡化哈密頓路徑問題。 在那個問題中，給你一個圖和一對節點 s 和 t，並詢問是否有一條從 s 到 t 的簡單路徑穿過圖中的所有節點。 您可以通過您的問題解決哈密頓路徑問題，如下所示：

• 為圖中的每條邊分配權重 1。
• 找到權重盡可能接近 n-1 的 st 簡單路徑，其中 n 是圖中的節點數。
• 返回此路徑的成本是否恰好為 n-1。

如果該圖有一條哈密頓路徑，則該路徑的成本為 n-1。 否則，它不會，並且找到的最佳路徑的成本將低於 n-1。